Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԱՄԵՆԱՄԵԾ ՀԱՏՎԱԾՔԻ ՋՐՈՐԴԱՆ===

'''''Խնդիր'''''

Մետաղյա ուղղանկյուն թերթը (նկ. 27) ջրորդանի համար պետք է ծռել հավասարակողմ սեղանի հատվածքի ձևով։ Ինչպես երևում է 28-րդ նկարից, այդ կարելի է անել տարբեր եղանակներով։ Ինչպիսի՞ լայնություններ պետք է ունենան կողմնային շերտերը և դրանք ի՞նչ անկյան տակ պետք է ծռված լինեն, որպեսզի ջրորդանի հատվածքն ամենամեծ մակերես ունենա (նկ. 29)։

'''''Լուծում'''''

Դիցուք թերթի լայնությունը <math>l</math> է։ Կnղմնային շերտերի ծալաբացվածքների լայնությունը նշանակենք <math>x</math>-ով, իսկ ջրորդանի հատակի լայնությունը՝ <math>y</math>-ով։ Մտցնենք ևս մի անհայտ <math>z</math>, որի նշանակությունը պարզ է 30-րդ նկարից։

Սեղանի մակերեսը, որ հանդիսանում է ջրորդանի հատվածքը, կլինի՝

<math>S \;=\; \frac{(z+y+z)+y}{2} \cdot \sqrt{x^2-z^2} \;=\; \sqrt{(y+z)^2(x^2-z^2)}</math>։

Խնդիրը հանգեց <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի այն արժեքները որոշելուն, որոնց դեպքում <math>S</math>-ը հասնում է առավելագույն մեծության. ընդ որում <math>2x+y</math> գումարը (այսինքն՝ թերթի լայնությունը) պահպանում է <math>l</math> հաստատուն մեծությունը։ Կատարենք ձևափոխություններ՝

<math>S^2 \;=\; (y+z)^2(x+z)(x-z)</math>։

<math>S^2</math> մեծությունը դառնում է ամենամեծ <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի այն արժեքների դեպքում, ինչ արժեքների դեպքում ամենամեծ է դառնում <math>3S^2</math>-ն, իսկ վերջինը կարելի է ներկայացնել հետևյալ արտադրյալի տեսքով՝

<math>(y+z)(y+z)(x+z)(3x-3z)</math>։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_27_30.png|360px|frameless|thumb|center]]

Այս չորս արտադրիչների գումարը հավասար է

<math>y+z+y+z+x+z+3x-3z \;=\; 2y+4x \;=\; 2l</math>,

այսինքն՝ անփոփոխ է։ Ուստի՝ մեր չորս արտադրիչների արտադրյալը ամենամեծն է, երբ դրանք միմյանց հավասար են, այսինքն՝

<math>y+z \;=\; x+z</math> և <math>x+z \;=\; 3x-3z</math>։

Առաջին հավասարումից կունենանք՝

<math>y=x</math>,

իսկ քանի որ <math>y+2x=l</math>, ապա <math>x=y=\frac{l}{3}</math>։

Երկրորդ հավասարումից գտնում ենք

<math>z \;=\; \frac{x}{2} \;=\; \frac{l}{6}</math>։

Այնուհետև, քանի որ <math>z</math> էջը հավասար է <math>x</math> ներքնաձիգի կեսին (նկ. 30), ապա այդ էջի դիմացի անկյունը հավասար է <math>30°</math>, իսկ հիմքի նկատմամբ ջրորդանի կողմերի թեքության անկյունը հավասար է <math>90°+30°= 120°</math>։

Այսպիսով, ջրորդանը կունենա ամենամեծ հատվածք, երբ նրա նիստերը ծալված են կանոնավոր վեցանկյան երեք կից կողմերի ձևով։