Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԱՄԵՆԱՄԵԾ ՏԱՐՈՂՈՒԹՅԱՆ ՁԱԳԱՐ===

'''''Խնդիր'''''

Թիթեղյա շրջանից հարկավոր է պատրաստել ձագարի կոնական մասը։ Դրա համար շրջանից կտրում են սեկտոր և շրջանի մնացած մասը ծռում կոնաձև (նկ. 31)։ Քանի՞ աստիճան պետք է լինի կտրված սեկտորի աղեղը, որպեսզի կոնը ստացվի ամենամեծ տարողության։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_31.png|300px|frameless|thumb|center]]

'''''Լուծում'''''

Շրջանի այն մասի աղեղի երկարությունը, որը ծռվում է որպես կոն, նշանակենք <math>x</math>-ով (գծային չափսերով)։ Հետևաբար՝ կոնի ծնորդը կլինի թիթեղյա շրջանի <math>R</math> շառավիղը, իսկ հիմքի շրջանագիծը հավասար կլինի <math>x</math>-ի։ Կոնի հիմքի <math>r</math> շառավիղը որոշենք հետևյալ հավասարությունից՝

<math>2\pi r \;=\; x</math>, որտեղից <math>r \;=\; \frac{x}{2\pi}</math>։

Կոնի բարձրությունը (Պյութագորի թեորեմայով)

<math>H \;=\; \sqrt{R^2-r^2} \;=\; \sqrt{R^2-\frac{x^2}{4\pi^2}}</math>

(նկ. 31)։ Այդ կոնի ծավալն ունի հետևյալ արժեքը՝

<math>V \;=\; \frac{\pi}{3}r^2H \;=\; \frac{\pi}{3}\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \sqrt{R^2-\frac{x^2}{4\pi^2}}</math>։

Այս արտահայտությունը հասնում է առավելագույն մեծության

<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \sqrt{R^2-\frac{x^2}{4\pi^2}}</math>

արտահայտության և նրա քառակուսու՝

<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^4 \left[R^2-\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2\right]</math>

հետ միաժամանակ։ Քանի որ

<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2+R^2-\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;=\; R^2</math>

մեծությունը հաստատուն է, ապա (նախօրոք ապացուցածի հիման վրա) վերջին արտադրյալը կունենա մաքսիմում <math>x</math>-ի այն արժեքի դեպքում, երբ

<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;:\; \left[R^2-\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2\right] \;=\; 2:1</math>,

որտեղից՝

<math>\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;=\; 2R^2-2\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2</math>,

<math>3\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2 \;=\; 2R^2 \text{ և } x \;=\; \frac{2\pi}{3}R\sqrt{6} \approx 5,13R</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>x \;=\; \frac{2\pi}{3}R\sqrt{5} \approx 5,15R</math>։— ''Մ.''։</ref>։

Աստիճաններով <math>x</math> աղեղը հավասար կլինի <math>295°</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>235°</math>։— ''Մ.''։</ref>. նշանակում է՝ կտրված սեկտորի աղեղը պետք է պարունակի <math>\approx 65°</math>։