Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԱՄԵՆԱՊԱՅԾԱՌ ԼՈՒՍԱՎՈՐՎԱԾՈՒԹՅՈՒՆԸ===

'''''Խնդիր'''''

Սեղանից ի՞նչ բարձրության վրա պետք է գտնվի մոմի բոցը, որպեսզի սեղանի վրա եղած դրամը լուսավորվի ամենից պայծառ։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_32.png|270px|frameless|thumb|center]]

'''''Լուծում'''''

Թվում է, թե ամենալավ լուսավորվածության հասնելու համար բոցը պետք է ըստ հնարավորին ավելի ցածր տեղավորել։ Այդ սխալ է. ցածր դիրքում բոցի ճառագայթներն ընկնում են շատ թեք ձևով։ Մոմը բարձրացնել այնպես, որ ճառագայթներն ընկնեն շեշտակի՝ նշանակում է լույսի աղբյուրը հեռացնել։ Ակնհայտ է, որ լուսավորվածության տեսակետից ամենաձեռնտուն բոցի ինչ-որ միջին բարձրությունն է սեղանից։ Դա նշանակենք <math>x</math>-ով (նկ. 32)։ <math>A</math> բոցով անցնող ուղղահայացի <math>C</math> հիմքից <math>B</math> դրամի <math>BC</math> հեռավորությունը նշանակենք <math>a</math>-ով։ Եթե <math>i</math>-ն բոցի պայծառությունն է, ապա համաձայն օպտիկայի օրենքների, դրամի լուսավորվածությունը կարտահայտվի այսպես՝

<math>\frac{i}{AB^2}cos\alpha \;=\; \frac{icos\alpha}{\left(\sqrt{a^2+x^2}\right)^2} \;=\; \frac{icos\alpha}{a^2+x^2}</math>,

որտեղ <math>\alpha</math>-ն <math>AB</math> ճառագայթների փնջի անկման անկյունն է։ Քանի որ

<math>cos\alpha \;=\; cosA \;=\; \frac{x}{AB} \;=\; \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}</math>,

ապա լուսավորվածությունը հավասար է

<math>\frac{i}{a^2+x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} \;=\; \frac{ix}{(a^2+x^2)^\frac{3}{2}}</math>։

Այս արտահայտությունը հասնում է մաքսիմումի <math>x</math>-ի այն արժեքի դեպքում, որի դեպքում և նրա քառակուսին, այսինքն՝

<math>\frac{i^2x^2}{(a^2+x^2)^3}</math>։

Որպես հաստատուն մեծություն <math>i^2</math> արտադրիչը բաց թողնենք, իսկ հետազոտվող արտահայտության մնացած մասը ձևափոխենք այսպես.

<math>\frac{x^2}{(a^2+x^2)^3} \;=\; \frac{1}{(x^2+a^2)^2}\left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right) \;=\; \left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^2 \left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right)</math>։

Ձևափոխված արտահայտությունը մաքսիմումի է հասնում

<math>\left(\frac{a^2}{x^2+a^2}\right)^2 \left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right)</math>

արտահայտության հետ միաժամանակ, քանի որ ներմուծված <math>a^4</math> հաստատուն արտադրիչը չի ազդում <math>x</math>-ի այն արժեքի վրա, որի դեպքում արտադրյալը հասնում է մաքսիմումի։ Նկատելով, որ այդ արտադրիչների առաջին աստիճանների գումարը հաստատուն մեծություն է՝

<math>\frac{a^2}{x^2+a^2}+\left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right) \;=\; 1</math>,

եզրակացնում ենք, որ դիտարկվող արտադրյալը դառնում է ամենամեծ, երբ

<math>\frac{a^2}{x^2+a^2} \;:\; \left(1-\frac{a^2}{x^2+a^2}\right) \;=\; 2 : 1</math>

Կունենանք հետևյալ հավասարումը՝

<math>a^2 \;=\; 2x^2+2a^2-2a^2</math>։

Լուծելով այս հավասարումը, գտնում ենք`

<math>x \;=\; \frac{a}{\sqrt{2}} \approx 0,71a</math>։

Դրամը ամենից պայծառ կլուսավորվի, եթե լույսի աղբյուրը գտնվում է այնպիսի բարձրության վրա, որը հավասար է աղբյուրի պրոյեկցիայից մինչև դրամի հեռավորության <math>0,71</math> մասին։ Այս հարաբերության գիտենալը օգնում է աշխատանքային տեղը ամենալավ ձևով լուսավորելու գործին։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Ch8.png|800px|frameless|thumb|center]]