Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

==ԳԼՈՒԽ ՈՒԹԵՐՈՐԴ։ ՊՐՈԳՐԵՍԻԱՆԵՐ==

===ՀՆԱԳՈՒՅՆ ՊՐՈԳՐԵՍԻԱ===

'''''Խնդիր'''''

Պրոգրեսիայի վերաբերյալ հնագույն խնդիրը ոչ թե շախմատ հնարողի վարձատրության մասին եղած խնդիրն է, որն ունի երկու հազար տարվա հնություն, այլ հացը բաժանելու մասին խնդիրը, որը գրված է Ռինդի եգիպտական հռչակավոր մագաղաթում։ Այդ մագաղաթը, որ գտնված է Ռինդի կողմից անցյալ հարյուրամյակի վերջին, կազմված է մեր դարաշրջանից մոտ 200 տարի առաջ և հանդիսանում է մյուս՝ էլ ավելի հնագույն մաթեմատիկական աշխատության ձեռագիրը, որը հավանաբար վերաբերում է երրորդ հազարամյակին մինչ մեր դարաշրջանը։ Այդ փաստաթղթի թվաբանական, հանրահաշվական և երկրաչափական խնդիրների թվում կա այսպիսի խնդիր (բերենք այն ազատ թարգմանությամբ)։

Հարյուր հատ հացը բաժանել հինգ մարդկանց միջև այնպես, որ երկրորդը ստանա առաջինից այնքանով ավելի շատ որքան որ երրորդն է ստացել ավելի շատ երկրորդից, չորրորդը՝ ավելի շատ երրորդից և հինգերորդը՝ ավելի շատ չորրորդից։ Բացի այդ, առաջին երկուսը պետք է ստանան մնացած երեքից <math>7</math> անգամ քիչ։

Որքա՞ն պետք է ստանա յուրաքանչյուրը։

'''''Լուծում'''''

Ակներևաբար, հացի քանակները, որ ստացել են մասնակիցները որպես բաժին, կազմում է աճող թվաբանական պրոգրեսիա։ Դիցուք նրա առաջին անդամը <math>x</math> է, տարբերությունը <math>y</math>։ Այդ ժամանակ

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD>առաջինի</TD>
        <TD align=center>բաժինը</TD>
        <TD> . . . . . . . .</TD>
        <TD><math>x</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>երկրորդի</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD> . . . . . . . .</TD>
        <TD><math>x+y</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>երրորդի</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD> . . . . . . . .</TD>
        <TD><math>x+2y</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>չորրորդի</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD> . . . . . . . .</TD>
        <TD><math>x+3y</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>հինգերորդի</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD> . . . . . . . .</TD>
        <TD><math>x+4y</math>։</TD>
    </TR>
</TABLE>

Խնդրի պայմանների հիման վրա կազմենք հետևյալ երկու հավասարումները՝

<math>
\begin{cases}
    x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y) \;=\; 100 \\
    7[x+(x+y)] \;=\; (x +2y)+(x+3y)+(x+4y)
\end{cases}
</math>

Պարզեցնելուց հետո առաջին հավասարումն ստանում է հետևյալ տեսքը՝

<math>x+2y \;=\; 20</math>,

իսկ երկրորդը՝

<math>11x \;=\; 2y</math>։

Լուծելով այդ սիստեմը, կստանանք՝

<math>x \;=\; 1\frac{2}{3}, \;\; y \;=\; 9\frac{1}{6}</math>։

Նշանակում է՝ հացը պետք է բաժանել հետևյալ մասերի՝

<math>1\frac{2}{3}, \; 10\frac{5}{6}, \; 20, \; 29\frac{1}{6}, \; 38\frac{1}{3}</math>։

===ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎԸ ՎԱՆԴԱԿԱՎՈՐ ԹՂԹԻ ՎՐԱ===

Չնայած պրոգրեսիաների վերաբերյալ այդ խնդրի հինգհազարամյա հնությանը, մեր դպրոցական կյանքում պրոգրեսիաները հայտնվել են համեմատաբար ավելի ուշ։ Մագնիցկու դասագրքում, որը հրատարակվել է երկու հարյուր տարի առաջ և որը ամբողջ կես դար հանդիսացել է դպրոցական ուսուցման համար հիմնական ձեռնարկ, թեև պրոգրեսիաներ կան, բայց դրանց մեջ մտնող մեծությունները կապակցող ընդհանուր բանաձևեր գոյություն չունեն։ Դրա համար էլ ինքը՝ դասագրքի կազմողը առանց դժվարությունների չէ, որ հաղթահարել է այդպիսի խնդիրները։ Մինչդեռ թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը հեշտորեն արտածվում է վանդակավոր թղթի օգնությամբ՝ պարզ և դիտորդական եղանակով։ Այդպիսի թղթի վրա ցանկացած թվաբանական պրոգրեսիան պատկերվում է աստիճանաձև։ Օրինակ՝ 33-րդ նկարում <math>ABDC</math>-ն պատկերում է հետևյալ պրոգրեսիան՝

<math>2, \; 5, \; 8, \; 11, \; 14</math>։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_33.png|400px|frameless|thumb|center]]

Նրա անդամների գումարը որոշելու համար գծագիրը լրացնենք մինչև <math>ABGE</math> ուղղանկյունը։ Կստանանք երկու հավասար պատկերներ <math>ABDC</math> և <math>DGEC</math>։ Նրանցից յուրաքանչյուրի մակերեսը պատկերում է մեր պրոգրեսիայի անդամների գումարը։ Նշանակում է՝ պրոգրեսիայի կրկնակի գումարը հավասար է <math>ABGE</math> ուղղանկյան մակերեսին, ալսինքն՝

<math>(AC+CE) \cdot AB</math>։

Բայց <math>AC+CE</math> պատկերում է պրոգրեսիայի 1-ին և 5-րդ անդամների գումարը։ <math>AB</math>-ն պրոգրեսիայի անդամների թիվն է։ Ուստի՝ կրկնակի գումար

<math>2S \;=\; \text{(ծայրանդամների գումարը)} \cdot \text{(անդամների թիվը)}</math>

կամ

<math>S \;=\; \frac{\text{(առաջին  +  վերջին անդամ)} \cdot \text{(անդամների թիվը)}}{2}</math>։

===ԲԱՆՋԱՐԱՆՈՑԻ ՋՐԵԼԸ===

'''''Խնդիր'''''

Բանջարանոցն ունի <math>30</math> մարգ, յուրաքանչյուրը <math>16 \; մ</math> երկարությամբ և <math>2,5 \; մ</math> լայնությամբ։ Մարգերը ջրելիս բանջարանոցատերը ջրով լիքը դույլը բերում է ջրհորից, որը գտնվում է բանջարանոցից <math>14 \; մ</math> հեռավորության վրա (նկ․ 34), ընդ որում, անցնելով միջնակներով, մեկ անգամ բերված ջուրը բավականացնում է միայն մեկ մարգ ջրելու համար։

Ի՞նչ երկարության ճանապարհ պետք է անցնի բանջարանոցատերը ամբողջ բանջարանոցը ջրելիս։ Ճանապարհը սկսվում և վերջանում է ջրհորի մոտ։

'''''Լուծում'''''

Առաջին մարգը ջրելու համար բանջարանոցատերը պետք է անցնի հետևյալ ճանապարհը՝

<math>14+16+2,5+16+2,5+14=65 \; մ</math>։

Երկրորդը ջրելիս նա կանցնի՝

<math>14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70 \; մ</math>։

Յուրաքանչյուր հաջորդ մարգը նախորդից պահանջում է <math>5 \; մ</math>-ով երկար ճանապարհ։

Կունենանք հետևյալ պրոգրեսիան՝

<math>65, \; 70, \; 75, \dots \dots , 65+5 \cdot 29</math>։

Նրա անդամների գումարը հավասար է

<math>\frac{(65+65+5 \cdot 29)30}{2} \;=\; 4125 \; մ</math>։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_34.png|400px|frameless|thumb|center]]

Ամբողջ բանջարանոցը ջրելիս բանջարանոցատերը կանցնի <math>4,125 \; կմ</math> ճանապարհ։

===ՀԱՎԵՐԻՆ ԿԵՐԱԿՐԵԼԸ===

'''''Խնդիր'''''

<math>31</math> հավի համար պատրաստված էր որոշ քանակությամբ կեր՝ հաշվելով, որ յուրաքանչյուր հավին շաբաթական պետք է մեկական դեկալիտր։ Ընդ որում ենթադրվում էր, որ հավերի թիվը չի փոխվի։ Բայց քանի որ իրականում հավերի թիվը յուրաքանչյուր շաբաթում <math>1</math>-ով պակասում էր, դրա համար էլ պատրաստված կերը բավարարեց կրկնակի ժամկետի։

Ինչքա՞ն էր կերի պաշարը և սկզբում որքա՞ն ժամանակի համար էր այն նախատեսված։

'''''Լուծում'''''

Դիցուք պատրաստված էր <math>x</math> դեկալիտր կեր <math>y</math> շաբաթվա համար։ Քանի որ կերը հաշված էր <math>31</math> հավի համար՝ մեկ շաբաթում <math>1</math>-ական դեկալիտր մեկ հավին, ապա

<math>x \;=\; 31y</math>։

Առաջին շաբաթում կծախսվեր <math>31 \; դլ</math>, երկրորդում՝ <math>30</math>, երրորդում՝ <math>29</math> և այլն, մինչև կրկնակի ժամանակի վերջին շաբաթը, երբ կծախսվեր

<math>(31-2y+1) \; դլ</math>։<ref>Պարզաբանենք կերի ծախսը՝<br>
<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD>1-ին</TD>
        <TD align=center>շաբաթում</TD>
        <TD><math>31 \; դլ</math>,</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>2-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>31-1 \; դլ</math>,</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>3-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>31-2 \; դլ</math>,</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=3>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD>2y-րդ</TD>
        <TD align=center>»</TD>
        <TD><math>31-(2y-1) \; =\; 31-2y+1 \; դլ</math>։</TD>
    </TR>
</TABLE>
</ref>

Հետևաբար՝ ամբողջ պաշարը կազմել է

<math>x \;=\; 31y \;=\; 31+30+29+ \dots \dots +(31-2y+1)</math>։

Պրոգրեսիայի <math>2y</math> անդամների գումարը, որի առաջին անդամը <math>31</math> է, իսկ վերջինը՝ <math>31-2y+1</math>, հավասար է

<math>31y \;=\; \frac{(31+31-2y+1)2y}{2} \;=\; (63-2y)y</math>։

Քանի որ <math>y</math>-ը զրոյի հավասար լինել չի կարող, ապա մենք կարող ենք հավասարության երկու մասերն էլ կրճատել այդ արտադրիչով։ Կստանանք՝

<math>31 \;=\; 63-2y</math> և <math>y=16</math>,

որտեղից

<math>x=31, \; y=496</math>։

Պատրաստված էր <math>496</math> դեկալիտր կեր <math>16</math> շաբաթվա համար։

===ՀՈՂ ՓՈՐՈՂՆԵՐԻ ԱՐՏԵԼԸ===

'''''Խնդիր'''''

Հող փորողների արտելը պարտավորվեց առու փորել։ Եթե նա աշխատեր լրիվ կազմով, առուն կփորվեր <math>24</math> ժամում։

Բայց իրականում աշխատանքն սկզբից սկսեց միայն մեկ հողափոր։ Որոշ ժամանակ հետո միացավ երկրորդը. նույնքան ժամանակից հետո՝ դարձյալ երրորդը. այնուհետև միևնույն ժամանակամիջոցից հետո՝ չորրորդը և այդպես մինչև վերջինը։ Վերջում պարզվեց, որ առաջինը <math>11</math> անգամ ավելի է աշխատել վերջինից։

Որքա՞ն ժամանակ աշխատեց վերջին հողափորը։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_35.png|300px|frameless|thumb|center]]

'''''Լուծում'''''

Դիցուք վերջին հողափորը աշխատել է <math>x</math> ժամ, այդ ժամանակ առաջինը աշխատել է <math>11x</math> ժամ։ Այնուհետև, եթե արտելի անդամների թիվը <math>y</math> է, ապա աշխատանքի ժամերի ընդհանուր թիվը որոշվում է որպես նվազող պրոգրեսիայի <math>y</math> անդամների գումար, որի առաջին անդամը <math>11x</math> է, իսկ վերջինը՝ <math>x</math>, այսինքն՝

<math>\frac{(11x+x)y}{2} \;=\; 6xy</math>։

Մյուս կողմից, հայտնի է, որ <math>y</math> մարդուց բաղկացած արտելը, աշխատելով լրիվ կազմով, առուն կփորեր <math>21</math> ժամում, այսինքն աշխատանքը կատարելու համար անհրաժեշտ է <math>24y</math> աշխատանքային ժամ։ Հետևաբար՝

<math>6xy \;=\; 24y</math>։

<math>y</math> թիվը չի կարող հավասարվել զրոյի, ուստի այդ արտադրիչով հավասարումը կարելի է կրճատել, որից հետո կստանանք՝

<math>6x = 24</math> և <math>x = 4</math>։

Այսպիսով, աշխատանքն սկսող վերջին հողափորը աշխատել է <math>4</math> ժամ։

Մենք պատասխանեցինք խնդրի հարցին. բայց եթե մենք հետաքրքրվեինք իմանալ, թե քանի բանվոր կար արտելում, ապա չէինք կարող այդ որոշել, չնայած նրան, որ հավասարման մեջ այդ թիվը մասնակցել է (<math>y</math> տառով)։ Այդ հարցը լուծելու համար խնդրում անհրաժեշտ տվյալները բերված չեն։

===ԽՆՁՈՐՆԵՐԸ===

'''''Խնդիր'''''

Այգեպանը առաջին գնորդին վաճառեց իր ունեցած խնձորների կեսը և էլի կես խնձոր, երկրորդ գնորդին՝ մնացածի կեսը և դարձյալ կես խնձոր, երրորդին՝ մնացածի կեսը և էլի կես խնձոր և այլն։ Յոթերորդ գնորդին նա վաճառեց մնացած խնձորների կեսը և դարձյալ կես խնձոր. դրանից հետո նրա մոտ խնձոր չմնաց։ Քանի՞ խնձոր ուներ այգեպանը։

'''''Լուծում'''''

Եթե խնձորների սկզբնական թիվը <math>x</math> է, ապա առաջին գնորդը ստացել է

<math>\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \;=\; \frac{x+1}{2}</math>,

երկրորդը՝

<math>\frac{1}{2}\left(x-\frac{x+1}{2}\right)+\frac{1}{2} \;=\; \frac{x+1}{2^2}</math>,

երրորդը՝

<math>\frac{1}{2}\left(x-\frac{x+1}{2}-\frac{x+1}{4}\right) + \frac{1}{2} \;=\; \frac{x+1}{2^3}</math>,

ութերորդ գնորդը՝

<math>\frac{x+1}{2^7}</math>։

Կունենանք հետևյալ հավասարումը՝

<math>\frac{x+1}{2}+\frac{x+1}{2^2}+\frac{x+1}{2^3}+ \dots + \frac{x+1}{2^7} \;=\; x</math>

կամ

<math>(x+1)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+ \dots + \frac{1}{2^7}\right) \;=\; x</math>

Հաշվելով փակագծերում եղած երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամների գումարը, գտնում ենք՝

<math>\frac{x}{x+1} \;=\; 1-\frac{1}{2^7}</math> և <math>x = 2^7-1 = 127</math>։

Խնձորների թիվը <math>127</math> էր։

===ՁԻ ԳՆԵԼԸ===

'''''Խնդիր'''''

Մագնիցկու հինավուրց թվաբանության մեջ մենք գտնում ենք հետևյալ զվարճալի խնդիրը, որը բերում ենք այստեղ չպահպանելով բնագրի լեզուն։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_36.png|300px|frameless|thumb|center]]

Մի մարդ ձին վաճառեց <math>156</math> ռուբլով։ Բայց գնորդը միտքը փոխեց և ձին վերադարձրեց վաճառողին, ասելով՝

— Ինձ ձեռնտու չէ այդ գնով ձի գնելը, նա այդքան չարժե։

Այդ ժամանակ վաճառողը առաջարկեց այլ պայման՝

— Եթե ըստ քեզ ձիու գինը բարձր է, ապա գնիր միայն նրա պայտամեխերը, իսկ ձին այդ ժամանակ կստանաս անվճար՝ որպես վերադիր։ Յուրաքանչյուր պայտին խփված է <math>6</math> մեխ։ Առաջին մեխի համար ինձ տուր ընդամենը <math>\frac{1}{4}</math> կոպ., երկրորդի համար՝ <math>\frac{1}{2}</math> կոպ., երրորդի համար՝ <math>1</math> կոպ., և այլն։

Գնորդը, հրապուրվելով ցածր գնով և ցանկանալով ձին ստանալ ձրի՝ ընդունեց վաճառողի պայմանը, հաշվելով, որ մեխերի համար երևի կվճարի ոչ ավելի քան <math>10</math> ռուբլի։ Որքանո՞վ սակարկեց գնորդը։

'''''Լուծում'''''

<math>24</math> պայտամեխերի համար պետք է վճարել

<math>\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1+2+2^2+2^3+ \dots +2^{24-3}</math>

կոպեկ։ Այդ գումարը հավասար է

<math>\frac{2^{21} \cdot 2-\frac{1}{4}}{2-1} \;=\; 2^{22}-\frac{1}{4} \;=\; 4194303\frac{3}{4} \; </math>կոպ.,

այսինքն՝ մոտ <math>42</math> հազար ռուբլի։ Այդպիսի պայմանների դեպքում ցավ չէ, որ ձին տրվեր որպես վերադիր։

===ՌԱԶՄԻԿԻ ՎԱՐՁԱՏՐՈՒՄԸ===

'''''Խնդիր'''''

Մաթեմատիկայի ռուսական մի այլ հինավուրց դասագրքից, որ կրում է '''«Զուտ մաթեմատիկայի լրիվ դասնթաց, որը կազմվել է հրետանու Շտիկ-Յունկեր և մաթեմատիկայի մսանավոր ուսուցիչ Եֆիմ Վոյտյախովսկու կողմից՝ ի օգուտ և գործածության պատանիների ու մաթեմատիկայի մեջ վարժվողների»''' (1795) ընդարձակ վերնագիրը, այստեղ բերենք հետևյալ խնդիրը.

«Ռազմիկին տրվել է վարձատրություն՝ առաջին վերքի համար <math>1</math> կոպեկ, երկրորդի համար՝ <math>2</math> կոպեկ, երրորդի համար՝ <math>4</math> կոպեկ և այլն։ Հաշվարկումից պարզվեց, որ ռազմիկը ստացել է ընդամենը <math>655</math> ռուբ. <math>35</math> կոպ. վարձատրություն։ Պահանջվում է իմանալ նրա վերքերի թիվը»։

'''''Լուծում'''''

Կազմենք հավասարում՝

<math>65535 \;=\; 1+2+2^2+2^3+ \dots + 2^{x-1}</math>

կամ

<math>65535 \;=\; \frac{2^{x-1} \cdot 2-1}{2-1} \;=\; 2^x-1</math>,

որտեղից կունենանք՝

<math>65536 = 2^x</math> և <math>x = 16</math>

արդյունքը, որը հեշտությամբ գտնում ենք փորձելու ճանապարհով։

Վարձատրության այդպիսի մեծահոգի սիստեմի դեպքում ռազմիկը պետք է ստանար <math>16</math> վերք և մնար կենդանի, որպեսզի արժանանար <math>655</math> ռուբ. <math>35</math> կոպ. պարգևի։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Ch9.png|800px|frameless|thumb|center]]