Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԼՈԳԱՐԻԹՄՆԵՐԸ ԵՐԱԺՇՏՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ===

Երաժիշտները հազվադեպ են հրապուրվում մաթեմատիկայով. նրանց մեծամասնությունը դեպի այդ գիտությունը հարգանք տածելով, գերադասում է նրանից շատ հեռու կանգնել։ Այնինչ երաժիշտները, նույնիսկ նրանք, ովքեր չեն ստուգում «հարմոնիան հանրահաշվով», ինչպես Պուշկինի մոտ Սալերին, մաթեմատիկայի հետ շփվում են ավելի հաճախ, քան ենթադրում են իրենք, ընդսմին այնպիսի ահեղ բաների հետ, ինչպիսին են լոգարիթմները։

Հարկ եմ համարում այդ առթիվ մեր հանգուցյալ ֆիզիկոս Ա. Էյխենվալդի<ref>Այն տպվել է „Pyсский астрономический календарь”-ում 1919 թ. և վերնագրված է „О больших и малых расстояниях”.</ref> հոդվածից բերել մի հատված.

Իմ գիմնազիստ ընկերը սիրում էր դաշնամուր նվագել, բայց մաթեմատիկա չէր սիրում։ Նա նույնիսկ արհամարհանքով ասում էր, որ երաժշտությունը և մաթեմատիկան միմյանց հետ ընդհանուր ոչինչ չունեն։

«Ճիշտ է, Պյութագորը ձայնական տատանումների միջև գտավ ինչ-որ հարաբերություններ,— բայց չէ՞ որ հենց պյութագորյան գամման մեր երաժշտության համար ոչ կիրառելի եղավ»։

Երևակայեցեք, թե ինչպես իմ ընկերոջը տհաճ զարմանք պատճառեց այն, երբ ես նրան ապացուցեցի, որ նվագելով ժամանակակից դաշնամուրի ստեղների վրա, նա նվագում է, ճիշտն ասած, լոգարիթմների վրա... Եվ իրոք, այսպես կոչված տեմպերացված քրոմատիկ (ելևէջային) գամմաների աստիճանները դասավորված չեն հավասար հեռավորությամբ ''ո՛չ'' տատանումների թվերի նկատմամբ և ''ո՛չ'' էլ համապատասխան ձայնի ալիքների երկարության նկատմամբ, այլ իրենցից ներկայացնում են այդ մեծությունների ''լոգարիթմները''։ Միայն այդ լոգարիթմների հիմքը հավասար է <math>2</math>-ի, և ոչ թե <math>10</math>-ի, ինչպես ընդունված է մյուս դեպքում։

Ենթադրենք, որ ամենացածր օկտավայի do նոտան (նրան կանվանենք զրո օկտավա) սահմանված է վայրկյանում <math>n</math> տատանումներով։ Այդ ժամանակ առաջին օկտավայի do-ն վայրկյանում կանի <math>2n</math> տատանումներ, իսկ <math>m</math>-րդ օկտավան՝ <math>n \cdot 2^m</math> տատանումներ և այլն։ Դաշնամուրի խրոմատիկ գամմայի բոլոր նոտաները նշանակենք <math>p</math> համարներով, յուրաքանչյուր օկտավայի do տոնը ընդունելով որպես զրո. այդ ժամանակ, օրինակ, sol տոնը կլինի <math>7</math>-րդ, la-ն կլինի <math>9</math>-րդ և այլն. <math>12</math>-րդ տոնը նորից կլինի do միայն թե մի օկտավայով բարձր։ Քանի որ տեմպերացված քրոմատիկ գամմայի յուրաքանչյուր հետագա տոնը ունի <math>\sqrt[12]{2}</math> անգամ ավելի մեծ տատանումներ<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\sqrt[12]{2}</math>-ից ավելի մեծ տատանումներ— ''Մ.''։</ref>, քան նախորդը, ապա ցանկացած տոնի տատանումների թիվը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝

<math>N_{pm} \;=\; n \cdot 2^m\left(\sqrt[12]{2}\right)^p</math>։

Լոգարիթմելով այս բանաձևը, կստանանք՝

<math>lgN_{pm} \;=\; lgn + mlg2+p\frac{lg2}{12}</math>

կամ

<math>lgN_{pm} \;=\; lgn+\left(m+\frac{p}{12}\right)lg2</math>,

իսկ do-ի ամենացածր տատանումների թիվն ընդունելով մեկ (<math>n=1</math>) և բոլոր լոգարիթմները փոխադրելով <math>2</math> հիմքի (կամ պարզապես ընդունելով <math>lg2=1</math>), կունենանք՝

<math>lgN_{pm} = m+\frac{p}{12}</math>։

Այստեղից տեսնում ենք, որ դաշնամուրի ստեղների համարները իրենցից ներկայացնում են համապատասխան ձայների տատանումների թվի լոգարիթմներ<ref>Բազմապատկում <math>12</math>-ով։</ref>։

Մենք անգամ կարող ենք ասել, որ օկտավայի համարը իրենից ներկայացնում է այդ լոգարիթմի ''խարակտերիստիկան'', իսկ տվյալ օկտավայում<ref>Բաժանում <math>12</math>-ի վրա։</ref> ձայնի համարը՝ ''մանտիսան''։

Օրինակ՝ պարզաբանում ենք, որ երրորդ օկտավի sol տոնում, այսինքն՝ <math>3+\frac{7}{12} (\approx 3,583)</math> թվի մեջ, <math>3</math> թիվը այդ տոնի տատանումների թվի լոգարիթմի խարակտերիստիկան է, իսկ <math>\frac{7}{12} (\approx 0,583)</math>-ը նույն լոգարիթմի մանտիսան <math>2</math> հիմքի դեպքում. տատանումների թիվը, հետևաբար, <math>23,583</math>, այսինքն՝ <math>11,98</math> անգամ մեծ է առաջին օկտավայի do տոնի տատանումների թվից։