Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԿՏԱԿ ՀԱՐՅՈՒՐ ՏԱՐՈՎ===

Ո՞վ չի լսել ցորենի հատիկների այն առասպելական թվի մասին, որը, իբր թե, շախմատի խաղի գյուտարարը պահանջել է որպես պարգև։ Այդ թիվը կազմվել է մեկը հաջորդաբար կրկնապատկելու ճանապարհով, շախմատային տախտակի առաջին դաշտի համար գյուտարարը պահանջել է <math>1</math> հատիկ, երկրորդի համար՝ <math>2</math> հատիկ և այլն, կրկնապատկելով բոլորը՝ մինչև, վերջին <math>64</math>-րդը։

Սակայն թվերն անսպասելի սրընթացությամբ աճում են ոչ միայն հաջորդական կրկնապատկման դեպքում, այլև՝ անհամեմատ ավելի չափավոր մեծացման դեպքում։

5% բերող կապիտալը տարեկան մեծանում է <math>1,05</math> անգամ։ Կարծես թե այնքան շատ նկատելի չէ աճելը։ Մինչդեռ բավական ժամանակ անցնելուց հետո կապիտալը աճում և դառնում է վիթխարի գումար։ Դրանով էլ բացատրվում է կապիտալի ապշեցնող աճը, որը կտակված է շատ երկար ժամանակով։ Թվում է տարօրինակ, որ թողնելով բավականին համեստ գումար, կտակողը կարգադրություն է անում վիթխարի կապիտալի վճարման մասին։ Հայտնի է ամերիկյան պետական հռչակավոր գործիչ Վենյամին Ֆրանկլինի կտակը: Այն հրապարակվել է «Վենյամին Ֆրանկլինի տարբեր երկերի ժողովածուում»։ Ահա նրանից մի քաղվածք՝

«Հանձնում եմ հազար ֆունտ ստերլինգ Բոստոնի բնակիչներին։ Եթե նրանք ընդունեն այդ հազար ֆունտը, ապա այն պետք է հանձնել ամենաընտիր քաղաքացիներին, իսկ նրանք այդ փողը վարկով կտան երիտասարդ արհեստավորներին<ref>Ամերիկայում այն ժամանակներում դեռ չկային վարկային հիմնարկներ։</ref> տարին հարյուրին <math>5</math> տոկոսով։ Այդ գումարը հարյուր տարի հետո կաճի մինչև <math>131 \; 000</math> ֆունտ ստերլինգի։ Ես ցանկանում եմ, որպեսզի այն ժամանակ <math>100 \; 000</math> ֆունտը ծախսվի հասարակական շենքերի կառույցի վրա, իսկ մնացած <math>31 \; 000</math> ֆունտը արվի տոկոսով՝ <math>100</math> տարով։ Երկրորդ հարյուրամյակն անցնելուց հետո գումարը կաճի մինչև <math>4 \; 061 \; 000</math> ֆունտ ստերլինգի, որից <math>1 \; 060 \; 000</math> ֆունտը թողնում եմ Բոստոնի բնակիչների տնօրինությանը, իսկ <math>3 \; 000 \; 000</math>-ը՝ Մասսաչուզետի համայնքի վարչությանը։ Այնուհետև չեմ համարձակվում տարածել իմ տեսակետը»։

Թողնելով ընդամենը <math>1000</math> ֆունտ, Ֆրանկլինը բաժանել է միլիոններ։ Այստեղ չկա, սակայն, ոչ մի թյուրիմացություն։ Մաթեմատիկական հաշվարկը հաստատում է, որ կտակողի խորհրդածումները լիովին ռեալ են։ <math>1000</math> ֆունտը յուրաքանչյուր տարի աճելով <math>1,05</math> անգամ, <math>100</math> տարուց հետո պետք է դառնա

<math>x \;=\; 1000 \cdot 1,05^{100}</math> ֆունտ։

Այս արտահայտությունը կարելի է հաշվել լոգարիթմների օգնությամբ՝

<math>lgx \;=\; lg1000+100lg1,005 \;=\; 5,11893</math>,

որտեղից

<math>x=131 \; 000</math>,

որ համապատասխանում է տեքստում եղած կտակին։ Այնուհետև, <math>31 \; 000</math> ֆունտը հաջորդ հարյուրամյակի ընթացքում դառնում է

<math>y \;=\; 31 \; 000 \cdot 1,05^{100}</math>,

որտեղից, հաշվելով լոգարիթմների օգնությամբ գտնում ենք՝

<math>y \;=\; 4 \; 076 \; 500</math>

գումարը, որը էապես քիչ է տարբերվում կտակում ցույց տրվածից։

Ներկայացնում եմ ընթերցողին ինքնուրույնաբար լուծելու հետևյալ խնդիրը, որը վերցված է Սալտիկովի „Господа Головлевы”-ից.<ref>Գրքում վրիպակ է՝ Սալտիկովի „Господ Головлевых”։— ''Մ.''։</ref> «Պորֆիրի Վլադիմիրովիչը նստած էր իր կաբինետում և նիշեր գրելով՝ սպառում էր թղթի թերթերը։ Այս անգամ նրան զբաղեցնում էր մի հարց. այժմ նա ինչքա՞ն փող կունենար, եթե իր <math>100</math> ռուբլին, որ նվիրել էր պապիկը նրան իր ծնված օրը «ատամների համար», մայրը չսեփականացներ, այլ դներ լոմբարդ փոքրիկ Պորֆիրիկի անունով։ Սակայն ստացվում էր ոչ շատ՝ ընդամենը <math>800</math> ռուբլի»։

Ենթադրելով, որ հաշիվներ անելու ժամանակ Պորֆիրին <math>50</math> տարեկան էր և ընդունելով, որ նա հաշվումները կատարել է ճիշտ (ենթադրությունը քիչ հավանական է, քանի որ դժվար թե Գոլովլյովը գիտեր լոգարիթմները և բարդ տոկոսները), պահանջվում է որոշել, թե այն ժամանակ լոմբարդը քանի տոկոս էր վճարում։