Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԿԱՊԻՏԱԼԻ ԱՆԸՆԴՀԱՏ ԱՃԸ===

Խնայդրամարկղներում տոկոսային փողերն ամեն տարի միացվում են հիմնական կապիտալին։ Եթե միացումը կատարվում է ավելի հաճախ, ապա կապիտալն աճում է ավելի արագ, քանի որ տոկոսների գոյացմանը մասնակցում է մեծ թվով գումար։ Վերցնենք միանգամայն տեսական, խիստ պարզեցված օրինակ։ Դիցուք, խնայդրամարկղում դրված է <math>100</math> ռուբլի՝ տարեկան 100%-ով։ Եթե տոկոսային փողերը հիմնական կապիտալին միացվեն միայն տարին լրանալուց հետո՝ ապա այդ ժամկետին <math>100</math> ռուբ. վերածվում է <math>200</math> ռուբլու։ Այժմ տեսնենք, թե <math>100</math> ռուբլին ինչքա՞ն է դառնում, եթե տոկոսային փողերը հիմնական կապիտալին միացնենք յուրաքանչյուր կես տարին մեկ։ Կես տարին անցնելուց հետո <math>100</math> ռուբլին կդառնա

<math>100</math> ռուբ. <math>\cdot 1,5 = 150</math> ռուբ.

և դարձյալ կես տարի հետո՝

<math>150</math> ռուբ. <math>\cdot 1,5 = 225</math> ռուբ.։

Եթե միացումը կատարենք յուրաքանչյուր <math>\frac{1}{3}</math> տարին մեկ, ապա տարին անցնելուց հետո <math>100</math> ռուբ. կվերածվի

<math>100</math> ռուբ. <math>\cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^3 \approx 237</math> ռուբ. <math>03</math> կոպ.-ի։

Ավելի հաճախակի դարձնենք տոկոսային փողերի միացման ժամկետները՝ մինչև <math>0,1, \; 0,01, \; 0,001</math> տարի և այլն։ Այդ ժամանակ մեկ տարի հետո <math>100</math> ռուբլուց կստացվի՝

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD><math>100</math> ռուբ. <math>\cdot 1,1^{10}</math></TD>
        <TD><math>\approx 259</math> ռուբ. <math>37</math> կոպ.</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>100</math> ռուբ. <math>\cdot 1,01^{100}</math></TD>
        <TD><math>\approx 270</math> ռուբ. <math>48</math> կոպ.</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>100</math> ռուբ. <math>\cdot 1,001^{1000}</math></TD>
        <TD><math>\approx 271</math> ռուբ. <math>69</math> կոպ.</TD>
    </TR>
</TABLE>

Բարձրագույն մաթեմատիկայի մեթոդներով ապացուցվում է, որ միացման ժամկետների անսահման կրճատման դեպքում աճող կապիտալը չի աճում անսահմանորեն, այլ մոտենում է որոշ սահմանի, որը մոտավորապես<ref>Կոպեկների կոտորակային մասն անտեսում ենք։</ref> հավասար է

<math>271</math> ռուբ. <math>83</math> կոպ.։

100%-ով դրված կապիտալը <math>2,7183</math>-ից ավել մեծանալ չի կարող, եթե անգամ աճող տոկոսները կապիտալին միացվեն յուրաքանչյուր վայրկյանում։

„<math>e</math>” ԹԻՎԸ

Ստացված <math>2,7183 \dots</math> թիվը, որը բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ վիթխարի դեր է խաղում, ոչ ավելի պակաս, քան հռչակավոր <math>\pi</math> թիվը, ունի հատուկ նշանակում՝ <math>e</math>։ Սա իռացիոնալ թիվ է. այն չի կարող թվանշանների վերջավոր թվով ճշտորեն արտահայտվել<ref>Բացի այդ, այդ թիվը, ինչպես և <math>\pi</math> թիվը տրանսցենդենտ են, այսինքն՝ չեն կարող լինել ամբողջ գործակիցներով հանրահաշվական որևէ հավասարման լուծման արդյունք։</ref>, բայց հաշվվում է միայն մոտավորությամբ, ճշտության ցանկացած աստիճանով, հետևյալ շարքի միջոցով՝

<math>1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots</math>

Բարդ տոկոսներով կապիտալի աճի վերը բերված օրինակից հեշտ է նկատել, որ <math>e</math> թիվը

<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

արտահայտության սահմանն է <math>n</math>-ի անսահմանորեն աճելու դեպքում։

Շատ պատճառներով, որոնք մենք այստեղ շարադրել չենք կարող, <math>e</math> թիվը նպատակահարմար է ընդունել որպես լոգարիթմների սիստեմի հիմք։ Այդպիսի աղյուսակները («բնական լոգարիթմների») գոյություն ունեն և լայն կիրառություն են գտնում գիտության և տեխնիկայի մեջ։ <math>48, \; 61, \; 102</math> և <math>260</math> թվանշաններով այն լոգարիթմ-հսկաները, որոնց մասին մենք խոսել ենք ավելի վաղ, հատկապես ունեն <math>e</math> հիմքը։

<math>e</math> թիվը հաճախ հայտնվում է այնտեղ, որտեղ նրան ընդհանրապես չեն սպասում։ Դնենք, օրինակ, այսպիսի խնդիր։

Ի՞նչ մասերի պետք է բաժանել տրված <math>a</math> թիվը, որպեսզի բոլոր մասերի արտադրյալը լինի ամենամեծը։

Մենք արդեն դիտենք, որ հաստատուն գումարի դեպքում թվերն ամենամեծ արտադրյալը տալիս են այն դեպքում, երբ դրանք միմյանց հավասար են։ Պարզ է, որ <math>a</math> թիվը պետք է բաժանել հավասար մասերի։ Բայց քանի՞ հավասար մասի։ Երկուսի՞, երեքի՞, տասի՞։ Բարձրագույն մաթեմատիկայի եղանակներով կարելի է որոշել, որ ամենամեծ արտադրյալն ստացվում է, երբ մասերը ըստ հնարավորին մոտ են <math>e</math> թվին։

Օրինակ, <math>10</math>-ը պետք է բաժանել այնպիսի թվով հավասար մասերի, որպեսզի մասերն ըստ հնարավորին մոտ լինեն <math>2,718</math>-ին։ Դրա համար պետք է գտնել հետևյալ քանորդը՝

<math>\frac{10}{2,718} \;=\; 3,678 \dots</math>

Քանի որ թիվը <math>3,678 \dots</math> հավասար մասերի վրա բաժանել չի կարելի<ref>Գրքում վրիպակ է՝ Քանի որ <math>3,678 \dots</math> թիվը հավասար մասերի վրա բաժանել չի կարելի,— ''Մ.''։</ref>, ապա հարկ է լինում բաժանարարը վերցնել նրան ամենամոտ ամբողջ թիվը՝ <math>4</math>-ը։ Հետևաբար, <math>10</math>-ի մասերի ամենամեծ արտադրյալը, մենք կստանանք, եթե այդ մասերը հավասար են <math>\frac{10}{4}</math>, այսինքն՝ <math>2,5</math>։

Նշանակում է

<math>(2,5)^4 = 39,0625</math>

ամենամեծ թիվն է, որը կարող է ստացվել <math>10</math>-ի միատեսակ մասերի բազմապատկումից։ Իրոք, <math>10</math>-ը բաժանելով <math>3</math> կամ <math>5</math> հավասար մասերի՝ մենք կստանանք փոքր արտադրյալ

<math>\left(\frac{10}{3}\right)^3 \;=\; 37, \; \left(\frac{10}{5}\right)^5 \;=\; 32</math>։

<math>20</math> թվի մասերի ամենամեծ արտադրյալն ստանալու համար այն պետք է բաժանել <math>7</math> հավասար մասերի, քանի որ

<math>20 \;:\; 2,718 \dots \;=\; 7,36 \approx 7</math>։

<math>50</math> թիվը պետք է բաժանել <math>18</math> մասի, իսկ <math>100</math>-ը՝ <math>37</math>, քանի որ

<math>50 \;:\; 2,718 \dots \;=\; 18,4</math>,

<math>100 \;:\; 2,718 \dots \;=\; 36,8</math>։

<math>e</math> թիվը վիթխարի դեր է խաղում մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի, աստղագիտության և մյուս գիտությունների մեջ։ Ահա մի քանի հարցեր, որոնք մաթեմատիկորեն դիտարկելու դեպքում հարկ է լինում օգտվել այդ թվից (ցանկը կարելի էր մեծացնել անսահմանափակ կերպով).

Բարոմետրական բանաձև (ճնշման փոքրանալը բարձրության հետ միասին),

Էյլերի բանաձևը<ref>Այդ մասին տե՛ս „Жюль-Верновский силач и формула Эйлера” հոդվածը իմ «Հետաքրքրաշարժ ֆիզիկայի» 2-րդ գրքում։</ref>,

Մարմինների սառելու օրենքը,

Ռադիոակտիվ տրոհումը և Երկրի տարիքը,

ճոճանակի տատանվելը օդում,

Ցիոլկովսկու բանաձևը հրթիռի արագության համար<ref>Տե՛ս իմ «Միջմոլորակային ճանապարհորդություններ» գիրքը։</ref>,

Տատանողական երևույթները ռադիոկոնտուրում,

Բջիջների աճելը։