Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ՀՆՁՎՈՐՆԵՐԻ ԱՐՏԵԼԸ===

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Վ. Ցինգերը Լ. Ն. Տոլստոյի մասին իր հիշողություններում պատմում է հետևյալ խնդրի մասին, որը մեծ գրողին շատ էր դուր եկել։

«Հնձվորների արտելը պետք է հնձեր երկու մարդագետին, մեկը մյուսից երկու անգամ մեծ։ Կես օր արտելը հունձ արեց մեծ մարգագետնում։ Դրանից հետո արտելը բաժանվեց երկու հավասար մասի՝ առաջին կեսը մնաց մեծ մարգագետնում և մինչև երեկո այն հնձեց ու վերջացրեց, իսկ երկրորդ կեսը հնձեց փոքր մարգագետինը, որի որոշ մասը երեկոյան մնաց չհնձված և որը հաջորդ օրվա ընթացքում հնձեց մի հնձվոր։ Քանի՞ հնձվոր կար արտելում։

'''''Լուծում'''''

Այս դեպքում, բացի գլխավոր անհայտից՝ հնձվորների թվից, որը մենք կնշանակվեք <math>x</math>-ով, հարկ է լինում մտցնել օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ այն հողամասի չափը, որը մի հնձվորը հնձում է մեկ օրում. այն նշանակենք <math>y</math>-ով։ Թեպետ խնդիրը չի պահանջում նրա որոշելը, բայց այն հեշտացնում է գլխավոր անհայտի գտնելը։

Մեծ մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի միջոցով։ Այդ մարգագետինը հնձեցին <math>x</math> հնձվորները կես օրում. նրանք հնձեցին՝

<math>x \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{2}</math>։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_6.png|300px|frameless|thumb|center]]

Օրվա երկրորդ կեսին այն հնձեց միայն արտելի կեսը, այսինքն՝ <math>\frac{x}{2}</math> հնձվոր։ Նրանք հնձեցին

<math>\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{4}</math>։

Քանի որ երեկոյան հնձվեց ամբողջ մարգագետինը, ապա նրա մակերեսը հավասար է՝

<math>\frac{xy}{2} + \frac{xy}{4} \;=\; \frac{3xy}{4}</math>։

Այժմ փոքր մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի միջոցով։ Այն կես օրում հնձեցին <math>\frac{x}{2}</math> հնձվորներ և հնձեցին <math>\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{4}</math> մակերես։ Ավելացնենք չհնձված հողամասը, որ հավասար է <math>y</math>-ի (մի հնձվորի մեկ աշխատանքային օրում հնձած մակերեսը), և կստանանք փոքր մարգագետնի մակերեսը՝

<math>\frac{xy}{4}+y \;=\; \frac{xy+4y}{4}</math>։

Մնում է հանրահաշվական լեզվի թարգմանել հետևյալ դարձվածքը. «Առաջին մարգագետինը երկու անգամ մեծ է երկրորդից» և հավասարումը կազմված է՝

<math>\frac{3xy}{4} : \frac{xy+4y}{4} \;=\; 2</math> կամ <math>\frac{3xy}{xy+4y} \;=\; 2</math>։

Հավասարման ձախ մասի կոտորակը կրճատենք <math>y</math>-ով։ Դրա շնորհիվ օժանդակ անհայտը արտաքսվում է, և հավասարումն ընդունում է հետևյալ տեսքը՝

<math>\frac{3x}{x+4} \;=\; 2</math> կամ <math>3x \;=\; 2x+8</math>,

որտեղից <math>x=8</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>x=6</math>։— ''Մ.''։</ref>։

Արտելում կար <math>8</math> հնձվոր։

«Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» առաջին հրատարակության լույս տեսնելուց հետո պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը ինձ ուղարկեց այս խնդրի վերաբերյալ շատ հետաքրքիր և մանրամասն հաղորդում։ Խնդրի գլխավոր էֆեկտը, ըստ նրա կարծիքի, այն է, որ «այն բոլորովին էլ հանրահաշվական չէ, այլ թվաբանական է և այն էլ չափազանց հասարակ, միայն դժվարացնողը նրա ոչ շաբլոն ձևն է»։

«Այդ խնդրի պատմությունն այսպես է,— շարունակում է պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը։— Մոսկվայի Համալսարանի մաթեմատիկական ֆակուլտետում այն ժամանակ, երբ այնտեղ սովորում էին իմ հայրը և իմ քեռին՝ Ի. Ի. Ռաևսկին (Լ. Տոլստոյի մոտիկ բարեկամը), այլ առարկաների հետ միասին դասավանդվում էր մանկավարժության նման ինչ-որ բան։ Այդ նպատակով ուսանողները պետք է հաճախեին համալսարանի համար հատկացված քաղաքային ժողովրդական դպրոցը և այնտեղ աշխատակցելով փորձված հմուտ ուսուցիչների հետ՝ վարժվեին դասավանդման մեջ։ Ցինգերի և Ռաևսկու ընկերների մեջ կար ոմն ուսանող՝ Պետրով, ըստ պատմածների — արտակարգ շնորհալի և յուրահատուկ մարդ։ Այդ Պետրովը (մահացել է շատ երիտասարդ հասակում, թվում է, թոքախտից) հաստատում էր, որ թվաբանության դասերին աշակերտներին փչացնում են՝ նրանց սովորեցնելով շաբլոն խնդիրներ և լուծման շաբլոն եղանակներ։ Իր միտքը հաստատելու համար Պետրովը հորինեց խնդիրներ, որոնք շաբլոն չլինելու հետևանքով շատ էին դժվարացնում «փորձված հմուտ ուսուցիչներին», բայց հեշտությամբ լուծվում էին ավելի ընդունակ աշակերտների կողմից» որոնք դեռ չէին փչացել այդ պարապմունքներում։ Այդպիսի խնդիրների (Պետրովը հնարել է նման մի քանի խնդիրներ) թվին է պատկանում նաև հնձվորների արտելի մասին խնդիրը։ Փորձված ուսուցիչները, անշուշտ, հեշտությամբ կարող էին լուծել այն՝ հավասարում կազմելու միջոցով, բայց թվաբանական պարզ լուծումը նրանց մտքով չէր անցնում։ Այնինչ խնդիրը այնքան պարզ է, որ նրա լուծման համար հանրահաշվական եղանակ մեջ բերել բոլորովին չարժե։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_7.png|120px|frameless|thumb|right]]

«Եթե մեծ մարգագետինը հնձել է մինչև օրվա կեսը ամբողջ արտելը և օրվա մյուս կեսը՝ արտելի կեսը, ապա պարզ է, որ կես օրում արտելի կեսը կարող է հնձել մարգագետնի <math>^1/_3</math> մասը։

Հետևաբար, փոքր մարգագետնում մնում է չհնձված <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}</math>

հողամաս։ Եթե մեկ հնձվորը օրական հնձում է մարգագետնի <math>^1/_6</math>-ը, 

իսկ հնձվածը եղել է <math>\frac{6}{6}+\frac{2}{6}=\frac{8}{6}</math>, ապա հնձվորները <math>8</math>-ն էին։

Տոլստոյը, որ իր կյանքում սիրում էր ֆոկուսային և ոչ թե խիստ խորամանկ խնդիրներ, այդ խնդիրը սովորել էր իմ հորից դեռ երիտասարդ տարիներին։ Երբ այդ խնդրի մասին իմ և ծերունի Տոլստոյի միջև զրույց տեղի ունեցավ, նրան առանձնապես զմայլեց այն, որ խնդիրը դառնում է անհամեմատ պարզ և հստակ, եթե լուծելիս օգտվել միանգամայն պարզունակ գծագրից (նկ. 7)։

Ստորև մեզ կհանդիպեն ևս մի քանի խնդիրներ, որոնք որոշ ըմբռնողության դեպքում թվաբանորեն ավելի պարզ են լուծվում, քան հանրահաշվորեն։