Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆԸ===

'''''Խնդիր'''''

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Էյնշտեյնի կենսագիր և բարեկամ Ա. Մոշկովսկին, մեկ անգամ ցանկանալով զբաղեցնել իր մտերիմին նրա հիվանդության ժամանակ, նրան առաջարկեց հետևյալ խնդիրը (նկ. 9)։

«Վերցնենք սլաքների դիրքը ժամը <math>12</math>-ին,— ասաց Մոշկովսկին։ Եթե այդ դիրքում մեծ և փոքր սլաքները փոխանակեին տեղերը, այնուամենայնիվ, նրանք ճիշտ ցույց կտային ժամանակը։ Բայց մյուս պահերին, օրինակ՝ ժամը <math>6</math>-ին, սլաքների փոխադարձ տեղափոխումը կհանգեցներ անհեթեթության, մի դրության, որ կանոնավոր աշխատող ժամացույցների վրա տեղի չի ունենա, րոպե ցույց տվող սլաքը չի կարող կանգնել <math>6</math>-ի վրա, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը ցույց է տալիս <math>12</math>-ը։ Հարց է առաջանում՝ ե՞րբ և քանի՞ ժամը մեկ ժամացույցի սլաքները գրավում են այնպիսի դիրք, որ մեկը մյուսով փոխարինելիս տալիս են այնպիսի նոր դիրք, որը նույնպես հնարավոր է ճիշտ աշխատող ժամացույցների համար։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_9.png|150px|frameless|thumb|right]]

— Այո,— պատասխանեց Էյնշտեյնը, դա միանգամայն հարմար խնդիր է այն մարդու համար, որը որևէ հիվանդությունից հարկադրված՝ մնում է անկողնում. բավականաչափ հետաքրքիր է և շատ էլ հեշտ չէ։ Միայն վախենում եմ, որ զվարճությունը երկար չի տևի, ես արդեն նշմարեցի լուծման ճանապարհը։

Եվ մի փոքր բարձրանալով անկողնում, նա մի քանի գծանշումներով թղթի վրա գծեց խնդրի պայմանը պատկերող սխեման։ Լուծելու համար նրան հարկավոր եղավ ավելի քիչ ժամանակ, քան թե ինձ՝ խնդիրը ձևակերպելու համար...»

Ինչպե՞ս է լուծվում այս խնդիրը։

'''''Լուծում'''''

Շրջանագծի <math>60</math>-երորդական մասերով կչափենք սլաքների հեռավորությունները թվացույցի շրջանով, այն կետից, որտեղ գրված է <math>12</math> թվանշանը։

Դիցուք, սլաքների պահանջվող դիրքերից մեկը գիտվում է այն ժամանակ, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը <math>12</math> թվանշանից հեռացավ <math>x</math> բաժանումով, իսկ րոպեներինը՝ <math>y</math> բաժանումով։ Քանի որ ժամ ցույց տվող սլաքը <math>12</math> ժամվա ընթացքում անցնում է <math>60</math> բաժանում, այսինքն՝ ժամում <math>5</math> բաժանում, ապա <math>x</math>, բաժանումը նա կանցնի <math>\frac{x}{5}</math> ժամում։ Այլ կերպ ասած, այն պահից հետո, երբ ժամացույցը ցույց էր տալիս <math>12</math>-ը, անցավ <math>\frac{x}{5}</math> ժամ։ Րոպե ցույց տվող սլաքը <math>y</math> բաժանումն անցավ <math>y</math> րոպեում, այսինքն՝ <math>\frac{y}{60}</math> ժամում։ Այլ կերպ ասած, րոպե ցույց տվող սլաքը <math>12</math> թվանշանն անցավ <math>\frac{y}{60}</math> ժամ այն պահից առաջ, կամ <math>\frac{x}{5}-\frac{y}{60}</math> ժամ այն պահից հետո, երբ երկու սլաքներն էլ գտնվում էին տասներկուսի վրա։ Այս թիվն ամբողջական է (զրոյից մինչև <math>11</math>), քանի որ նա ցույց է տալիս, թե քանի լրիվ ժամ անցավ տասներկուսից հետո։

Երբ սլաքները տեղերը փոխում են, մենք համանման ձևով գտնում ենք, որ ժամը <math>12</math>-ից հետո անցած այն ժամանակը, որ ցույց են տալիս սլաքները, կազմում է

<math>\frac{y}{5}-\frac{x}{60}</math>

լրիվ ժամ։ Այդ թիվը նույնպես ամբողջական է (զրոյից մինչև <math>11</math>)։

Ունենք հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝

<math>
\begin{cases}
    \frac{x}{5}-\frac{y}{60} \;=\; m\\
    \frac{y}{5}-\frac{x}{60} \;=\; n,\\
\end{cases}
</math>

որտեղ <math>m</math>-ը և <math>n</math>-ը ամբողջ թվեր են, որոնք կարող են փոխվել <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math>։ Այդ սիստեմից գտնում ենք՝

<math>
\begin{array}{r}
x \;=\; \frac{60(12m+n)}{143}\\
y \;=\; \frac{60(12n+m)}{143}\\
\end{array}
</math>։

<math>m</math>-ին և <math>n</math>-ին տալով <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math> ամբողջ արժեքները, մենք որոշում ենք սլաքների բոլոր պահանջվող դիրքերը։ Քանի որ <math>m</math>-ի <math>12</math> արժեքներից յուրաքանչյուրը կարելի է համադրել <math>n</math>-ի <math>12</math> արժեքներից յուրաքանչյուրի հետ, ապա թվում է, թե բոլոր լուծումների թիվը հավասար է <math>12 \cdot 12 = 144</math>։

Բայց իրականում այն հավասար է <math>143</math>-ի, որովհետև երբ <math>m=0, \; n = 0</math> և երբ <math>m=11, \; n = 11</math> ստացվում է սլաքների միևնույն դիրքը։

<math>m=11, \; n = 11</math>-ի դեպքում ունենք՝

<math>x=60, \; y=60</math>,

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս <math>12</math>-ը այնպես, ինչպես <math>m=0, \; n = 0</math> դեպքում։

Բոլոր հնարավոր դիրքերը մենք չենք քննարկի, վերցնենք միայն երկու օրինակ։

Առաջին օրինակ.

<math>m=1, \; n = 1</math>.

<math>x \;=\; \frac{60 \cdot 13}{143} \;=\; 5\frac{1}{5}, \; y \;=\; 5\frac{5}{11}</math>,

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս <math>1</math> ժամ <math>5\frac{5}{11}</math> րոպե. այդ պահին սլաքները համատեղվում են. դրանց տեղերը, իհարկե, կարելի է փոխել (ինչպես և սլաքների մյուս բոլոր համատեղումների դեպքերում)։

Երկրորդ օրինակ.

<math>m=8, \; n = 5</math>։

<math>x \;=\; \frac{60(5+12 \cdot 8)}{143} \approx 42,38, \; y \;=\; \frac{60(8+12 \cdot 5)}{143} \approx 28,53</math>։

Համապատասխանող պահերն են` <math>8</math> ժամ <math>28,53</math> րոպե և <math>5</math> ժամ <math>42,38</math> րոպե։

Լուծումների թիվը մենք գիտենք՝ <math>143</math>։ Որպեսզի գտնենք թվացույցի ալն բոլոր կետերը, որոնք տալիս են սլաքների պահանջվող դիրքերը, պետք է թվացույցի շրջանագիծը բաժանենք <math>143</math> հավասար մասի. կստանանք <math>143</math> կետ, որոնք հանդիսանում են որոնելիներ։ Սլաքների պահանջվող դիրքերը այդ կետերի միջակայքներում հնարավոր չեն։