Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԿՈՒՐՅՈԶՆԵՐ ԵՎ ԱՆԱԿՆԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ===

Հավասարումներ լուծելիս մենք երբեմն հանդիպում ենք այնպիսի պատասխանների, որոնք անփորձ մաթեմատիկոսին կարող են փակուղու, մեջ դնել։ Բերենք մի քանի օրինակներ։

I. Գտնել երկանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները։ Տասնավորների թվանշանը միավորների թվանշանից փոքր լինի <math>4</math>-ով։ Եթե նույն թվանշաններով, բայց հակառակ կարգով գրված թվից հանենք որոնելի թիվը, ապա կստանանք <math>27</math>։

Նշանակելով տասնավորների թվանշանը <math>x</math>-ով, իսկ միավորների թվանշանը՝ <math>y</math>-ով, մենք այդ խնդրի համար հեշտությամբ կկազմենք հետևյալ հավասարումների սիստեմը՝

<math>
\begin{cases}
    x \;=\; y-4,\\
    (10y+x)-(10x+y) \;=\; 27։\\
\end{cases}
</math>

Առաջին հավասարումից <math>x</math>-ի արժեքը տեղադրելով երկրորդի մեջ՝ կգտնենք

<math>10y+y-4-[10(y-4)+y] \;=\; 27</math>,

իսկ ձևափոխությունից հետո՝

<math>36 \;=\; 27</math>։

Մեզ մոտ չորոշվեցին անհայտների արժեքները, սակայն մենք իմացանք, որ <math>36=27</math>... Ի՞նչ է սա նշանակում։

Այս նշանակում է՝ որ տրված հավասարումներին բավարարող երկանիշ թվեր գոյություն չունեն և որ այդ հավասարումները հակասում են մեկը մյուսին։ Իսկապես առաջին հավասարման երկու մասերը բազմապատկելով <math>9</math>-ով, մենք նրանից կգտնենք՝

<math>9y-9x \;=\; 36</math>։

իսկ երկրորդից (փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո)՝

<math>9y-9x \;=\; 27</math>։

Միևնույն մեծությունը՝ <math>9y-9x</math>, համաձայն առաջին հավասարման, հավասար է <math>36</math>-ի, իսկ համաձայն երկրորդի՝ <math>27</math>-ի։ Դա անպայման անհնարին է, քանի որ <math>36 \neq 27</math>։

Նման թյուրիմացություն է սպասում նաև հետևյալ հավասարումների սիստեմը լուծողին՝

<math>
\begin{cases}
    x^2y^2 = 8,\\
    xy = 4։\\
\end{cases}
</math>

Առաջին հավասարումը բաժանելով երկրորդի վրա, կստանանք

<math>xy = 2</math>,

իսկ նոր ստացված հավասարումը համեմատելով երկրորդի հետ, նկատում ենք, որ

<math>
\begin{cases}
    xy = 4, \\
    xy = 2,
\end{cases}
</math>

այսինքն՝ <math>4=2</math>։ Այդ սիստեմին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։ (Այն հավասարումները, որոնց կազմած սիստեմը լուծումներ չունի, կոչվում են ''անհամատեղելի'')։

II. Այլ տեսքի անսպասելիության կհանդիպենք մենք, եթե մասամբ փոխենք նախորդ խնդրի պայմանը։ Այն է՝ հաշվենք, որ տասնավորների թվանշանը ոչ թե <math>4</math>-ով, այլ <math>3</math>-ով է փոքր միավորների թվանշանից, իսկ խնդրի մնացած պայմանը նույնն է։ Ի՞նչ թիվ է դա։

Կազմում ենք հավասարում։ Եթե տասնավորների թվանշանը նշանակենք <math>x</math>-ով, ապա միավորների թվանշանը կլինի <math>x+3</math>։ Խնդիրը թարգմանելով հանրահաշվի լեզվով, կստանանք՝

<math>10(x+3)+x-[10x+(x+3)] \;=\; 27</math>։

Կատարելով պարզումներ, կհանգենք հետևյալ հավասարությանը՝

<math>27=27</math>։

Այս հավասարությունը անվիճելիորեն ճիշտ է, բայց նա մեզ ոչինչ չի ասի <math>x</math>-ի արժեքի մասին։ Սա նշանակո՞ւմ է արդյոք, որ խնդրի պահանջին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։

Ընդհակառակն, այդ նշանակում է, որ մեր կազմած հավասարումը նույնություն է, այսքիքն՝ այն ճիշտ է <math>x</math> անհայտի ցանկացած արժեքի դեպքում։ Իսկապես, հեշտ է համոզվել նրանում, որ խնդրում նշված հատկությունն ունի յուրաքանչյուր երկանիշ թիվ, որի միավորների թվանշանը <math>3</math>-ով մեծ է տասնավորների թվանշանից.

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD><math>14+27=41</math>,</TD>
        <TD></TD>
        <TD><math>47+27=74</math>,</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>25+27=52</math>,</TD>
        <TD></TD>
        <TD><math>58+27=85</math>,</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD><math>36+27=63</math>,</TD>
        <TD></TD>
        <TD><math>69+27=96</math>։</TD>
    </TR>
</TABLE>

III. Գտնել եռանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները՝

1) տասնավորների թվանշանը <math>7</math> է,

2) հարյուրավորների թվանշանը <math>4</math>-ով փոքր է միավորների թվանշանից։

3) եթե այդ թվի թվանշանները դասավորենք հակառակ կարգով, ապա նոր թիվը <math>396</math>-ով մեծ կլինի որոնելիից։

Կազմենք հավասարում, միավորների թվանշանը նշանակելով <math>x</math>-ով.

<math>100x+70+x-4-[100(x-4)+70+x] \;=\; 396</math>։

Այս հավասարումը պարզեցնելուց հետո բերվում է հետևյալ հավասարությանը՝

<math>396=396</math>։

Ընթերցողներն արդեն գիտեն, թե ինչպես պետք է մեկնաբանել նման արդյունքը։ Այն նշանակում է, որ յուրաքանչյուր եռանիշ թիվ, որի առաջին թվանշանը <math>4</math>-ով փոքր է երրորդից<ref>Տասնավորների թվանշանը դեր չի խաղա։</ref>, մեծանում է <math>396</math>-ով, եթե թվանշանները գրենք հակառակ կարգով։

Մինչև այժմ մենք դիտարկել ենք խնդիրներ, որոնք քիչ թե շատ արհեստական, գրքային բնույթ ունեին։ Դրանք ուղղված էին հավասարումներ կազմելու և լուծելու համար հմտություն ձեռք բերելու նպատակին։ Այժմ տեսականորեն զինված զբաղվենք գործնական խնդիրների մի քանի օրինակներով՝ արտադրության, առօրյա կենցաղի, ռազմական գործի և սպորտի բնագավառներից։