Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԱԿՆԹԱՐԹԱՅԻՆ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄ===

Վիրտուոզ հաշվողները բազմաթիվ դեպքերում իրենց հաշվողական աշխատանքը հեշտացնում են՝ դիմելով ոչ բարդ հանրահաշվական ձևափոխությունների։ Օրինակ <math>988^2</math> հաշվումը կատարվում է այսպես՝

<math>988 \times 988 \;=\; (988+12) \times (988-12)+12^2 \;=\; 1000 \times 976 + 144 \;=\; 976\;144։</math>

Հեշտ է հասկանալ, որ հաշվողն այդ դեպքում օգտվում է հետևյալ հանրահաշվական ձևափոխությունից՝

<math>a^2 = a^2-b^2+b^2 = (a+b)(a-b) + b^2</math>։

Բանավոր հաշվումների ժամանակ գործնականում մենք կարող ենք հաջողությամբ օգտվել այդ բանաձևից. օրինակ՝

<math>27^2 = (27+3)(27-3)+3^2=729</math>,

<math>63^2 = 66 \cdot 60+3^2=3969</math>,

<math>18^2 = 20 \cdot 16+2^2=324</math>,

<math>37^2 = 40 \cdot 34+3^2=1369</math>,

<math>48^2 = 50 \cdot 46+2^2=2304</math>,

<math>54^2 = 58 \cdot 50+4^2=2916</math>։

Այնուհետև, <math>986 \cdot 997</math> բազմապատկումը կատարվում է այսպես՝

<math>986 \cdot 997 - (986-3) \cdot 1000 + 3 \cdot 14 = 983 \; 042</math>։

Ինչի՞ վրա է հիմնված այդ եղանակը։ Արտադրիչները ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

<math>(1000-14) \cdot (1000-3)</math>

և այդ երկանդամները բազմապատկենք հանրահաշվի կանոններով՝

<math>1000 \cdot 1000-1000 \cdot 14 - 1000 \cdot 3 + 14 \cdot 3</math>։

Կատարենք ձևափոխությունները՝

<math>1000(1000-14)-1000 \cdot 34+14 \cdot 3 = 1000 \cdot 986 - 1000 \cdot 3+14 \cdot 3 = 1000(986-3)+14 \cdot 3</math>։

Վերջին տողը պատկերում է հենց հաշվողի եղանակը։

Հետաքրքիր է երկու եռանիշ թվերի բազմապատկման եղանակը, որոնց տասնյակների թիվը նույնն է, իսկ միավորների թվանշանների գումարը հավասար է <math>10</math>-ի։ Օրինակ,

<math>783 \cdot 787</math>։

Բազմապատկումը կատարում ենք այսպես՝

<math>78 \cdot 79 = 6162, \; 3 \cdot 7 = 21</math>,

արդյունքը՝

<math>616221</math>։

Եղանակի հիմնավորումը պարզ է հետևյալ ձևափոխություններից՝

<math>(780 + 3)(780+7) = 780 \cdot 780 + 780 \cdot 3 + 780 \cdot 7 + 3 \cdot 7 = 780 \cdot 780 + 780 \cdot 10 + 3 \cdot 7 = 780(780 + 10) + 3 \cdot 7 = 780 \cdot 790 + 21 = 616200 + 21</math>։

Նման բազմապատկումների կատարման համար հետևյալ եղանակն ավելի քան պարզ է՝

<math>783 \cdot 787 = (785-2)(785+2) = 785^2-4 = 616225-4 = 616221</math>։

Այս օրինակում հարկ եղավ <math>785</math> թիվը բարձրացնել քառակուսի։

<math>5</math>-ով վերջացող թվերը արագ աստիճան բարձրացնելու համար շատ հարմար է հետևյալ եղանակը՝

<math>35^2, \quad 3 \cdot 4 = 12</math>։ Պատ. <math>1225</math>,

<math>65^2, \quad 6 \cdot 7 = 42</math>։ Պատ. <math>4225</math>,

<math>75^2, \quad 7 \cdot 8 = 56</math>։ Պատ. <math>5625</math>։

Կանոնը կայանում է նրանում, որ տասնյակների թիվը բազմապատկում են նրանից մեկով մեծ թվով և արտադրյալին կցագրում <math>25</math>։

Եղանակը հիմնավորվում է հետևյալ կերպ։ Եթե տասնավորների թիվը <math>a</math> է, ապա ամբողջ թիվը կարելի է պատկերել այսպես.

<math>10a+5</math>։

Այդ թվի քառակուսին, որպես երկանդամի քառակուսի, հավասար է՝

<math>100a^2 + 100a + 25 \;=\; 100a(a+1)+25</math>։

<math>a(a+1)</math> արտահայտությունը տասնյակների և նրան ամենամոտ մեծ թվի արտադրյալն է։ Թիվը <math>100</math>-ով բազմապատկել և ստացածին <math>25</math> ավելացնել, միևնույնն է, թե նրան <math>25</math> ''կցագրել''։

Նույն եղանակից հետևում է թիվը քառակուսի բարձրացնելու պարզ միջոցը, որը կազմված է ամբողջից և <math>\frac{1}{2}</math>-ից։

Օրինակ՝

<math>\left( 3\frac{1}{2}\right)^2 = 3,5^2 = 12,25 = 12\frac{1}{4}</math>,

<math>\left( 7\frac{1}{2} \right)^2 = 7,5^2 = 56,25 = 56\frac{1}{4}</math>,

<math>\left( 8\frac{1}{2} \right)^2 = 8,5^2 = 72,25 = 72\frac{1}{4}</math> և այլն։