Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԱՆՎԵՐՋ «ԹՎԵՐ»===

Գոյություն ունեն ավելի մեծ խմբեր այնպիսի թվանշանների, որոնք գտնվելով թվերի վերջում, պահպանվում են նաև դրանց արտադրյալում։ Այդպիսի թվանշանների խմբերի թիվ, ինչպես մենք ցույց կտանք, անվերջ մեծ է։

Մենք գիտենք երկանիշ թվանշանների խմբեր, որոնք ունեն այդ հատկությունը՝ դա <math>25</math>-ն է և <math>76</math>-ը։ Որպեսզի գտնենք եռանիշ խմբեր, պետք է <math>25</math>-ի կամ <math>76</math> թվի առջևից ''կցագրել'' այնպիսի թվանշան, որ ստացված եռանիշ թվանշանների խումբը նույնպես ունենա պահանջված հատկությունը։

Ինչպիսի՞ թվանշան պետք է կցագրել <math>76</math> թվին։ Նշանակենք այն <math>k</math>-ով։ Այդ ժամանակ որոնելի եռանիշ թիվը կպատկերվի այսպես՝

<math>100k+76</math>։

Այդ թվանշանների խմբով վերջացող թվերի համար ընդհանուր արտահայտությունը այսպես է՝

<math>1000a+100k+76, \; 1000b+100k+76</math> և այլն։

Բազմապատկենք այս տեսքի երկու թվեր. կստանանք՝

<math>1000000ab+100000ak+100000bk+76000a+76000b+10000k^2+ 15200k+5776</math>։

Բոլոր գումարելիները, բացի վերջին երկուսից, վերջում ունեն երեք զրոյից ոչ պակաս։ Ուստի՝ արտադրյալը վերջանում է <math>100k+76</math>-ով, եթե

<math>15200k+5776-(100k+76) \;=\; 15100k+5700 \;=\; 15000k+5000+100(k+7)</math>

տարբերությունը բաժանվում է <math>1000</math>-ի։ Դա, ակնհայտ է, կլինի միայն այն դեպքում, երբ <math>k=3</math>։

Այսպիսով, որոնելի թվանշանների խումբն ունի <math>376</math> տեսքը։ Ուստի և <math>376</math> թվի ամեն մի աստիճանը վերջանում է <math>376</math>-ով։ Օրինակ՝

<math>376^2=141376</math>։

Եթե մենք այժմ ցանկանանք գտնել թվանշանների քառանիշ խումբ, որն ունենա միևնույն հատկությունը, ապա <math>376</math>-ի առջևից պետք է կցագրենք ես մեկ թվանշան։ Եթե այդ թվանշանը նշանակենք <math>l</math>-ով, ապա կհանգենք հետևյալ խնդրին՝ <math>l</math>-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում

<math>(10000a+1000l+376)(10000b+1000l+376)</math>

արտադրյալը վերջանում է <math>1000l+376</math>-ով։ Եթե այս արտադրյալի մեջ բացենք փակագծերը և դեն գցենք այն բոլոր գումարելիները, որոնք վերջանում են <math>4</math> և ավելի զրոներով, ապա կմնան հետևյալ անդամները՝

<math>752000l + 141376</math>։

Արտադրյալը վերջանում է <math>1000l+376</math>-ով, եթե

<math>752000l+141376-(1000l+376) \;=\; 751000l+141000 \;=\; (750000l+140000)+1000(l+1)</math>

տարբերությունը բաժանվում է <math>10000</math>-ի վրա։ Դա, ակնհայտ է, կլինի միայն այն դեպքում, երբ <math>l=9</math>։

Որոնելի թվանշանների քառանիշ խումբն է <math>9376</math>։

Ստացված թվանշանների քառանիշ խմբին կարելի է ավելացնել ես մեկ թվանշան, որի համար պետք է դատել ճիշտ այնպես, ինչպես և վերևում։ Մենք կստանանք <math>09376</math>։ Կատարելով ես մի քայլ, գտնում ենք <math>109376</math> թվանշանների խումբը, այնուհետև <math>7109376</math> և այլն։

Ձախից թվանշանների այդպիսի գրառումը կարելի է կատարել անսահմանափակորեն։ Արդյունքում մենք կստանանք մի «թիվ», որը կունենա ''անսահման շատ'' թվանշաններ՝

<math>....7109376</math>,

Նման «թվերը» կարելի է գումարել և բազմապատկել սովորական կանոնով, չէ՞ որ դրանք գրվում են աջից ձախ, իսկ գումարումը և բազմապատկումը («սյունակով») նույնպես կատարվում է աջից ձախ, այնպես որ այդպիսի երկու թվերի գումարում, արտադրյալում մեկը մյուսի հետևից կարելի է հաշվել թվանշաններ, որքան պետք է։

Հետաքրքիր է, որ վերը գրված անսահման «թիվը» բավարարում է

<math>x^2 \;=\; x</math>

հավասարմանը, որքան էլ դա անհավանական չի թվում։

Իրոք, այդ «թվի» քառակուսին (այսինքն՝ բազմապատկումն ինքն իրենով) վերջանում է <math>76</math>-ով, քանի որ արտադրիչներից յուրաքանչյուրը վերջում ունի <math>76</math>. նույն պատճառով, գրված «թվի» քառակուսին վերջանում է <math>376</math>-ով, վերջանում է <math>9376</math>-ով և այլն։ Այլ կերպ ասած, <math>x^2</math> «թվի» թվանշանները, հաշվելով մեկը մյուսից հետո, որտեղ <math>x \;=\; ...7109376</math>, մենք կստանանք այն թվանշանները, որոնք կան <math>x</math> թվի մեջ, այնպես որ <math>x^2 \;=\; x</math>։

Մենք դիտարկեցինք թվանշանների խմբեր, որոնք վերջանում են <math>76</math>-ով<ref>Նկատենք, որ <math>76</math> թվանշանների երկանիշ խումբը կարող է գտնվել վերևում արված դատողություններին համանման դատողությունների միջոցով. բավական է հարցը լուծենք այն մասին, թև ինչպիսի թվանշան պետք է կցագրել <math>6</math> թվանշանի առջևից, որպեսզի ստացված թվանշանների երկանիշ խմբերն ունենան դիտարկվող հատկությունը։ Ուստի՝ <math>....7109376</math> «թիվը» կարելի է ստանալ՝ վեցի առջևից իրար հաջորդող թվանշաններ կցագրելու միջոցով։</ref>։ Եթե համանման դատողություններ անենք <math>5</math>-ով վերջացող թվանշանների խմբերի համար, ապա մենք կստանանք թվանշանների այսպիսի խմբեր՝

<math>5, \; 25, \; 625, 0\;625, \; 90\;625, \; 890\;625, 2\;890\;625</math> և այլն։

Արդյունքում մենք կարող ենք գրել դարձյալ մի անսահման «թիվ».

<math>...2\;890\;625</math>,

որը նույնպես բավարարում է <math>x^2 \;=\; x</math> հավասարմանը։ Կարելի էր ցույց տալ, որ այդ անսահման «թիվը» «հավասար է»

<math>\left(\left(\left(5^2\right)^2\right)^2\right)^{2\cdots}</math>

Ստացված հետաքրքիր արդյունքն անսահման «թվերի» լեզվով ձևակերպվում է այսպես՝ <math>x^2 = x</math> հավասարումը, բացի սովորական <math>x=0</math> և <math>x=1</math> լուծումներից, ունի երկու «անսահման» լուծումներ՝

<math>x = \dots7 \; 109 \; 376</math> և <math>x= \dots2 \; 890 \; 625</math>,

Իսկ այլ լուծումներ (թվարկության տասնորդական սիստեմում) գոյություն չունեն<ref>Անվերջ «թվեր» կարելի է դիտարկել ոչ միայն տասնորդական, այլև թվարկության ուրիշ սիստեմներում։ Այդպիսի թվերը, որոնք դիտարկվում են <math>p</math> հիմքով թվարկության սիստեմում, կոչվում են <math>p</math>-ական թվեր։ Այդ թվերի մասին որոշ բան կարելի է կարդալ Ե. Բ. Դինկինի և Վ. Ա. Ուսպենսկու, „Математические беседы” գրքում (Гостехиздат, 1952)։</ref>։