Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ՊԱՏԱՍԽԱՆԱՏՈՒ ՀԱՇՎԱՐԿ===
Հաշվողական պրակտիկայում հանդիպում են այնպիսի զուտ թվաբանական հաշվումներ, որոնց կատարումը առանց հանրահաշվի հեշտացնող մեթոդների օգնության՝ արտակարգ դժվար է։ Դիցուք, պահանջվում է գտնել այսպիսի գործողությունների արդյունքը՝

<math>\frac{2}{1+\frac{1}{90 \; 000 \; 000 \; 000}}</math>

(Այս հաշվարկն անհրաժեշտ է նրա համար, որպեսզի հաստատվի, թե իրավացի՞ է այն տեխնիկան, որը գործ ունի էլեկարամագնիսական ալիքների տարածման արագության համեմատ փոքր արագությամբ շարժվող մարմինների հետ, որպեսզի կարելի լինի օգտվել արագությունների գումարման նախկին օրենքից՝ հաշվի չառնելով այն փոփոխությունները, որոնք ներմուծված են մեխանիկայի մեջ հարաբերականության<ref>Գրքում վրիպակ է՝ հավանականության։— ''Մ.''։</ref> տեսության կողմից։ Համաձայն հին մեխանիկայի, այն մարմինը, որը մասնակցում է վայրկյանում <math>v_1</math> և <math>v_2</math> կիլոմետր արագություններով միատեսակ ուղղված երկու շարժումների, վայրկյանում ունի <math>(v_1+v_2)</math> կիլոմետր արագություն։ Մինչդեռ նոր գիտությունը մարմնի արագության համար տալիս է հետևյալ արտահայտությունը.

<math>\frac{v_1+v_2}{1 + \frac{v_1v_2}{c^2}}</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\frac{v_1+v_2}{1 + \frac{v_1v_2}{c_2}}</math>։— ''Մ.''։</ref> կիլոմետր վայրկյանում,

որտեղ <math>c</math>-ն լույսի տարածման արագությունն է դատարկության մեջ, որը վայրկյանում մոտավորապես հավասար է <math>300 000</math> կիլոմետրի։ Մասնավորապես, մարմնի արագությունը, որը մասնակցում է միատեսակ ուղղված երկու շարժումների, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի <math>1 \; կմ/վրկ</math> արագություն, ըստ հին մեխանիկայի հավասար է <math>2 \; կմ/վրկ</math>, իսկ ըստ նորի՝

<math>\frac{2}{1+\frac{1}{90 \; 000 \; 000 \; 000}} \; կմ/վրկ</math>

Իսկ այդ արդյունքները որքանո՞վ են տարբերվում միմյանցից։ Որսո՞ւմ է արդյոք ամենանուրբ չափողական գործիքն այս տարբերությունը։ Այդ կարևոր հարցը պարզաբանելու համար էլ հենց հարկ է լինում կատարել վերոհիշյալ հաշվարկը)։

Այդ հաշվարկը կատար ենք երկու կերպ. նախ թվաբանական սովորական ճանապարհով, և ապա հանրահաշվի կիրառմամբ։ Սակայն բավական է մի հայացք գցենք ստորև բերված թվանշանների շարքի վրա և կհամոզվենք հանրահաշվական եղանակի առավելության անվիճելիության մեջ։

Նախ և առաջ ձևափոխենք մեր «բազմահարկ» կոտորակը

<math>\frac{2}{1+\frac{1}{90 \; 000 \; 000 \; 000}} \;=\; \frac{180 \; 000 \; 000 \; 000}{90 \; 000 \; 000 \; 001}</math>։

Այժմ կատարենք համարիչի բաժանումը հայտարարի վրա։

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
        <TD></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD align=right colspan=12><math>180000000000</math></TD>
        <TD colspan=12 style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>90000000001</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD align=right colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>90000000001</math></TD>
        <TD colspan=12 style='border-left:solid windowtext 1.0pt;'><math>1,999999999977 \dots</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899999999990</math></TD>
        <TD colspan=11></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=11><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>810000000008</math>— ''Մ.''։</ref></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899999999810</math></TD>
        <TD colspan=10></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=10></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=2></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899999998010</math></TD>
        <TD colspan=9><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>899999998001</math>— ''Մ.''։</ref></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=2></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=9></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=3></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899999980010</math></TD>
        <TD colspan=8></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=3></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=8></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=4></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899999800010</math></TD>
        <TD colspan=7></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=4></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=7></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=5></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899998000010</math></TD>
        <TD colspan=6></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=5></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=6></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=6></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899980000010</math></TD>
        <TD colspan=5></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=6></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=5></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=7></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>899800000010</math></TD>
        <TD colspan=4></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=7></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=4></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=8></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>898000000010</math></TD>
        <TD colspan=3></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=8></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=3></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=9></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>880000000010</math></TD>
        <TD colspan=2></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=9></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>810000000009</math></TD>
        <TD colspan=2></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=10></TD>
        <TD colspan=1 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'></TD>
        <TD colspan=12><math>700000000010</math></TD>
        <TD colspan=1></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=10></TD>
        <TD colspan=1></TD>
        <TD colspan=12 style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>630000000007</math></TD>
        <TD colspan=1></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD colspan=12></TD>
        <TD colspan=12><math>70000000003</math></TD>
    </TR>
</TABLE>

Հաշվարկը, ինչպես տեսնում ենք, հոգնեցուցիչ է, մանրակրկիտ, նրանում հեշտ է շփոթվել և սխալվել։ Մինչդեռ, խնդիրը լուծելու համար կարևոր է ճշտությամբ իմանալ որտեղ է հատկապես ընդհատվում ինների շարքը և սկսվում մյուս թվանշանների սերիան։

Այժմ համեմատեցեք, թե հանրահաշիվը որքան կարճ է կատարում այդ հաշվարկը։ Այն օգտվում է հետևյալ մոտավոր հավասարությունից՝ եթե <math>a</math>-ն շատ փոքր կոտորակ է, ապա

<math>\frac{1}{1+a} \approx 1-a</math>,

որտեղ <math>\approx</math> նշանը նշանակում է «մոտավորապես հավասար է»։ Այս պնդման իրավացիության մեջ համոզվելը շատ հեշտ է՝ <math>1</math> բաժանելին բաղդատենք այն արտադրյալի հետ, որն ստացվում է բաժանարարը քանորդով բազմապատկելուց՝

<math>1 \;=\; (1+a)(1-a)</math>,

այսինքն՝

<math>1 \;=\; 1-a^2</math>,

Քանի որ <math>a</math>-ն շատ փոքր կոտորակ է (օրինակ, <math>0,001</math>), ապա <math>a^2</math>-ն ավելի քան փոքր կոտորակ է (<math>0,000001</math>) և այն կարելի է անտեսել։

Ասվածը կիրառենք մեր հաշվարկի համար<ref>Այնուհետև մենք կօգտվենք հետևյալ մոտավոր հավասարությունից<br><math>\frac{A}{1+a} \approx A(1-a)</math>։</ref>

<math>\frac{2}{1 + \frac{1}{90 \; 000 \; 000 \; 000}} \;=\; \frac{2}{1 + \frac{1}{9 \cdot 10^{10}}} \approx 2(1-0,111... \times 10^{-10}) \;=\; 2-0,000 \; 000 \; 000 \; 022 \; 2... \;=\; 1,999 \; 999 \; 999 \; 977 \; 7...</math>

Մենք ստացանք միևնույն արդյունքը, ինչ որ առաջ, բայց անհամեմատ ավելի կարճ ճանապարհով։

(Հավանաբար ընթերցողին հետաքրքիր է իմանալ, թե մեխանիկայի բնագավառից բերված մեր խնդրում ստացված արդյունքն ի՛նչ արժեք ունի) Այդ արդյունքը ցույց է տալիս,որ լույսի արագության համեմատությամբ դիտարկվող արագությունները փոքր լինելու պատճառով արագությունների գումարման հին օրենքից շեղվելը պրակտիկորեն չի հայտնաբերվում՝ այն հայտնվում է որոշված թվի տասնմեկերորդ թվանշանի վրա, իսկ երկարության ամենաճշգրիտ չափումների ժամանակ էլ չեն վերցնում ինը թվանշանից ավելի. նույնիսկ սովորական տեխնիկայի մեջ սահմանափակվում են անգամ 3-4 թվանշաններով։ Դրա համար մենք, առանց որևէ վերապահության, իրավունք ունենք հաստատելու, որ էյնշտեյնյան նոր մեխանիկան գործնականորեն ոչինչ չի փոխում տեխնիկական հաշվումների մեջ, որը վերաբերում է (լույսի տարածման համեմատությամբ) «դանդաղ» շարժվող մարմիններին)։