Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ՓՈՂԿԱՊ ԳՆԵԼԸ===

'''''Խնդիր'''''

Խանութում գնված փողկապի համար դուք պետք է վճարեք <math>19</math> ռուբ.։

Ձեր ունեցածը միայն երեք ռուբլիանոցներ են, գանձապահինը՝ միայն հինգ ռուբլիանոցներ։ Դուք կարո՞ղ եք արդյոք այդպիսի փողերի առկայության դեպքում գանձապահի հետ հաշիվները փակել և ինչպե՞ս։

Խնդրի հարցը պահանջում է իմանալ որքան երեք ռուբլիանոց պետք է դուք տաք գանձապահին, որպեսզի վճարելով <math>19</math> ռուբլի, ստանաք հինգ ռուբլիանոցներով մանր դրամ։ Խնդրի անհայտները երկուսն են՝ երեք ռուբլիանոցների թիվը (<math>x</math>) և հինգ ռուբլիանոցների թիվը (<math>y</math>)։ Բայց կարելի է կազմել մի այն մեկ հավասարում՝

<math>3x-5y=19</math>։

Թեև երկու անհայտով մի հավասարումն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ, բայց բնավ դեռ ակներև չէ, որ նրանց մեջ <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար գտնվի թեկուզ մեկ լուծում ամբողջ դրական թվերով (հիշենք, որ այն թղթադրամների թիվն է)։

Ահա թե ինչու հանրահաշիվը մշակել է նման «անորոշ» հավասարումների լուծման մեթոդ։ Դրանց հանրահաշվի մեջ ներմուծելու ծառայությունը պատկանում է այդ գիտության առաջին եվրոպական ներկայացուցչին, հեռավոր անցյալի հռչակավոր մաթեմատիկոս Դիոֆանտին, որի պատճառով այդպիսի հավասարումները հաճախ կոչվում են «դիոֆանտյան» հավասարումներ։

'''''Լուծում'''''

Բերված օրինակի վրա ցույց տանք, թե ինչպես պետք է լուծել նման հավասարումները։

<math>3x-5y \;=\; 19</math>

հավասարման միջոցով պետք է գտնել <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի արժեքները, ընդ որում գիտենալով, որ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ''ամբողջ և դրական'' թվեր են։

Մեկուսացնենք այն անհայտը, որի գործակիցը փոքր է այսինքն՝ <math>3x</math> անդամը․ կստանանք՝

<math>3x \;=\; 19+5y</math>,

որտեղից՝

<math>x \;=\; \frac{19+5y}{3} \;=\; 6+y+ \frac{1+2y}{3}</math>։

Քանի որ <math>x</math>-ը, <math>6</math>-ը և <math>y</math>-ը ամբողջ թվեր են, ապա հավասարությունը կարող է ճիշտ լինել միայն այն պայմանի դեպքում, երբ <math>\frac{1+2y}{3}</math>-ը նույնպես ամբողջ թիվ է։ Նշանակենք այն <math>t</math> տառով։ Այդ դեպքում

<math>x \;=\; 6+y+t</math>,

որտեղ

<math>t \;=\; \frac{1+2y}{3}</math>,

և, նշանակում է՝

<math>3t=1+2y, \; 2y=3t-1</math>։

Վերջին հավասարումից որոշենք <math>y</math>-ը՝

<math>y \;=\; \frac{3t-1}{2} \;=\; t + \frac{t-1}{2}</math>։

Քանի որ <math>y</math>-ը և <math>t</math>-ն ամբողջ թվեր են, ապա և <math>\frac{t-1}{2}</math> պետք է լինի մի որոշ <math>t_1</math> ամբողջ թիվ։ Հետևաբար,

<math>y \;=\; t+t_1</math>,

ընդ որում

<math>t_1 \;=\; \frac{t-1}{2}</math>,

որտեղից

<math>2t_1 \;=\; t-1</math> և <math>t \;=\; 2t_1+1</math>։

<math>t \;=\;2t_1+1</math> արժեքը տեղադրենք նախորդ հավասարման մեջ՝

<math>y \;=\; t+t_1 \;=\; (2t_1+1)+t_1 \;=\; 3t_1+1</math>,

<math>x \;=\; 6+y+t \;=\; 6+(3t_1+l)+(2t_1+l) \;=\; 8+5t_1</math>։

Այսպիսով, <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար մենք գտանք հետևյալ արտահայտությունները<ref>Խիստ ասած, մենք ապացուցեցինք միայն այն, որ <math>3x-5y \;=\; 15</math> հավասարման ամեն մի ամբողջ թվով լուծում ունի <math>x \;=\; 8+5t_1, \; y \;=\; 1+3t_1</math> տեսքը, որտեղ <math>t_1</math>-ը որևէ ամբողջ թիվ է։ Հակադարձը (այսինքն՝ այն, որ ցանկացած <math>t_1</math> ամբողջի դեպքում մենք կստանանք մեզ տրված հավասարման մի քանի ամբողջ թվով լուծում) չի ապացուցվել։ Սակայն դրանում հեշտությամբ կարելի է համոզվել՝ տանելով հակադարձ կարգով դատողություններ կամ <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի գտնված արժեքները տեղադրելով սկզբնական հավասարման մեջ։</ref>

<math>x \;=\; 8+5t_1</math>

<math>y \;=\; 1+3t_1</math>

<math>x</math> և <math>y</math> թվերը, ինչպես գիտենք, ոչ միայն ամբողջ են, այլև դրական, այսինքն մեծ են <math>0</math>-ից։ Հետևաբար,

<math>8+5t_1 > 0</math>,

<math>1+3t_1 > 0</math>։

Այս անհավասարությունից կստանանք՝

<math>5t1>-8</math> և <math>t_1 > -\frac{8}{5}</math>,

<math>3t1>-1</math> և <math>t_1 > - \frac{1}{3}</math>։

Դրանով էլ մեծությունը սահմանափակվում է. այն մեծ է, քան <math>-\frac{1}{3}</math>-ը<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\frac{1}{3}</math>։— ''Մ.''։</ref> <math>\left(\frac{ }{ }\right. </math>և, նշանակում է, առավել ևս մեծ է, քան <math>\left. -\frac{8}{5} \right)</math>։ Բայց քանի որ <math>t_1</math>-ը ամբողջ թիվ է, ապա եզրակացնում ենք, որ նրա համար հնարավոր են միայն հետևյալ արժեքները՝

<math>t_1 \;=\; 0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; ...</math>

<math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար համապատասխան արժեքները կլինեն

<math>x \;=\; 8+5t_1 \;=\; 8, \; 13, \; 18, \; 23, \; ...</math>

<math>y \;=\; 1+3t_1 \;=\; 1, \; 4, \; 7, \; 10, \; ...</math>

Այժմ մենք որոշեցինք, թե ինչպես պետք է կատարել վճարումը։

Դուք կամ կվճարեք <math>8</math> երեք ռուբլիանոցներ՝ ստանալով մի հինգ ռուբլիանոց մանր դրամ՝

<math>8 \cdot 3-5=19</math>,

կամ կվճարեք <math>13</math> երեք ռուբլիանոցներ՝ ստանալով <math>4</math> հինգ ռուբլիանոց մանր դրամ՝

<math>13 \cdot 3 - 4 \cdot 5 = 19</math>

և այլն։

Տեսականորեն խնդիրն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ, իսկ գործնականում լուծումների թիվը սահմանափակ է, քանի որ ո՛չ գնորդի և ո՛չ էլ գանձապահի մոտ չկա անթիվ բազմությամբ թղթադրամ։ Եթե, օրինակ, յուրաքանչյուրի մոտ կա ընդամենը <math>10</math>-ական թղթադրամ, ապա վճարումը հնարավոր է կատարել միայն մեկ եղանակով՝ <math>8</math> երեք ռուբլիանոցներ վճարելով և <math>3</math> ռուբլի մանր դրամ ստանալով։ Ինչպես տեսնում ենք, անորոշ հավասարումները գործնականում կարող են տալ միանգամայն որոշակի, զույգ լուծումներ։

Անդրադառնալով մեր խնդրին՝ առաջարկում ենք ընթերցողին որպես վարժություն ինքնուրույնաբար լուծել միայն այն վարիանտը, երբ գնորդն ունի միայն հինգ ռուբլիանոցներ, իսկ գանձապահը՝ միայն երեք ռուբլիանոցներ։ Արդյունքում ստացվում է լուծումների այսպիսի շարք՝

<math>x \;=\; 5, \; 8, \; 11, \; ...</math>

<math>y \;=\; 2, \; 7, \; 12, \; ...</math>

Իրոք,

<math>5 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 19</math>,

<math>8 \cdot 5 - 7 \cdot 3 = 19</math>,

<math>11 \cdot 5 -12 \cdot 3 = 19</math>,

..........................

Մենք այս արդյունքները կարող էինք ստանալ նաև հիմնական խնդրի արդեն պատրաստի լուծումներից՝ օգտվելով հանրահաշվական պարզ եղանակից։ Քանի որ ''տալ'' հինգ ռուբլիանոցներ և ''ստանալ'' երեք ռուբլիանոցներ միևնույնն է, թե «''ստանալ'' բացասական հինգ ռուբլիանոցներ» և «''տալ'' բացասական երեք ռուբլիանոցներ», ապա խնդրի նոր վարիանտը լուծվում է այն նույն հավասարմամբ, որը մենք կազմեցինք հիմնական խնդրի համար.

<math>3x-5y \;=\; 19</math>,

բայց այն պայմանով, որ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ''բացասական'' թվեր են։ Ուստի՝

<math>x \;=\; 8+5t_1, \; y \;=\; 1+3t_1</math>

հավասարություններից գիտենալով, որ <math>x<0 \text{ և } y<0</math>, եզրակացնում ենք՝

<math>8+5t_1<0</math>,

<math>1+3t_1<0</math>

և, հետևաբար,

<math>t_1 < -\frac{8}{5}</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>t_1 < -\frac{3}{5}</math>։— ''Մ.''։</ref>

Ընդունելով <math>t_1 \;=\; -2, \; -3, \; -4</math> և այլն, նախորդ բանաձևերից կստանանք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար հետևյալ արժեքները։

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>t_1 \;=\; -2</math></TD>
        <TD style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>-3</math></TD>
        <TD align=right style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>-4</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>x \;=\; -2</math></TD>
        <TD style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>-7</math></TD>
        <TD align=right style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'><math>-12</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>y \;=\; -5</math></TD>
        <TD style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>-8</math></TD>
        <TD align=right><math>-11</math></TD>
    </TR>
</TABLE>

Լուծումների առաջին զույգը՝ <math>x=-2, \; y=-5</math> նշանակում է, որ գնորդը «վճարում է մինուս <math>2</math> երեք ռուբլիանոցներ» և ստանում է մինուս <math>5</math> հինգ ռուբլիանոցներ», այսինքն՝ սովորական լեզվով ասած, վճարում է <math>5</math> հատ հինգ ռուբլիանոց և ստանում է <math>2</math> հատ երեք ռուբլիանոց մանր դրամ։

Նման ձևով կմեկնաբանենք և մյուս լուծումները։