Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ՎԵՐՍՏՈՒԳՈՒՄ ԽԱՆՈՒԹՈՒՄ===

'''''Խնդիր'''''

Խանութի առետրամատյանների ստուգման ժամանակ պարզվեց, որ գրանցումներից մեկը ծածկված է թանաքով, ունի այսպիսի տեսք՝

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_11b.png|400px|frameless|thumb|center]]

Հնարավոր չէր վերծանել վաճառված մետրերի թիվը, բայց կասկած չկար, որ այդ թիվը կոտորակային չէ. ստացված գումարում կարելի էր տարբերել միայն վերջին երեք թվանշանները, և դարձյալ հաստատել, որ դրանցից առաջ եղել են ինչ-որ երեք այլ թվանշաններ։

Կարո՞ղ է արդյոք վերստուգիչ հանձնաժողովը այդ հետքերով որոշել գրանցումը։

'''''Լուծում'''''

Մետրերի թիվը նշանակենք <math>x</math>-ով։ Վաճառքից ստացված մուտքը արտահայտված կոպեկներով կլինի

<math>4936x</math>։

Գրանցման դրամական գումարի երեք ծածկված թվանշաններով արտահայտված թիվը նշանակենք <math>y</math>-ով։ Հավանորեն այդ թիվը հազար կոպեկների թիվ է, իսկ ամբողջ գումարը կոպեկներով կարտահայտվի այսպես՝

<math>1000y+728</math>։

Կունենանք հետևյալ հավասարումը՝

<math>4936x \; =\; 1000y+728</math>,

կամ, <math>8</math>-ով կրճատելուց հետո,

<math>617x-125y \;=\; 91</math>։

Այս հավասարման մեջ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ամբողջ թվեր են և ընդսմին <math>y</math>-ը մեծ չէ <math>999</math>-ից, քանի որ երեքից ավելի թվանշաններով այն կազմվել չի կարող։ Լուծենք այդ հավասարումը, ինչպես ցույց էր տրված առաջ՝

<math>125y \;=\; 617x-91</math>,

<math>y \;=\; 5x-1+ \frac{34-8x}{125} \;=\; 5x-1+ \frac{2(17-4x)}{125} = 5x-1 + 2t</math>։

<math>\left(\frac{ }{ }\right.</math>Այստեղ մենք ընդունեցինք <math>\frac{617}{125} = 5 - \frac{8}{125}</math>, քանի որ մեզ ձեռնտու է ունենալ հնարավորին չափ ավելի փոքր մնացորդներ։

<math>\frac{2(17-4x)}{125}</math>

կոտորակը ամբողջ թիվ է, իսկ քանի որ <math>2</math>-ը չի բաժանվում <math>125</math>-ի, ապա <math>\frac{17-4x}{125}</math> կոտորակը պետք է լինի ամբողջ թիվ, որը և մենք նշանակել ենք <math>t</math>-ով<math>\left. \frac{ }{ } \right)</math>։

Այնուհետև

<math>\frac{2(17-4x)}{125} \;=\; t</math>

հավասարումից ունենք`

<math>17-4x \;=\; 125t</math>,

<math>x \;=\; 4-31t + \frac{1-t}{4} \;=\; 4-31t+t_1</math>,

որտեղ

<math>t_1 \;=\; \frac{1-t}{4}</math>

և, հետևաբար,

<math>4t_1 \;=\; 1-t, \; t \;=\; 1-4t_1</math>,

<math>x \;=\; 125t_1-27, \; y \;=\; 617t_1-134</math>։<ref>Ուշադրություն դարձրեք այն բանին, որ <math>t_1</math>-ի դեպքում գործակիցները հավասար են <math>617x-125y \;=\; 91</math> սկզբնական հավասարման <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի գործակիցներին, ընդ որում <math>t_1</math>-ի գործակիցներից մեկի մոտ նշանը հակառակ է։ Այդ պատահականություն չէ, կարելի է ապացուցել, որ միշտ այդպես կարող է լինել, եթե <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի գործակիցները փոխադարձ պարզ են։</ref>

Մենք գիտենք, որ

<math>100 \leq y < 1000</math>։

Հետևաբար,

<math>100 \leq 617t_1-134 < 1000</math>,

որտեղից

<math>t_1 \geq \frac{234}{617}</math> և <math>t_1 < \frac{1134}{617}</math>։

Ակնհայտ է, որ <math>t_1</math>-ի համար գոյություն ունի միայն մեկ ամբողջ արժեք՝

<math>t_1=1</math>,

և այդ ժամանակ <math>x=91, \; y=483</math>, այսինքն՝ վաճառված էր <math>98</math> մետր կտոր <math>4837</math> ռ. <math>28</math> կ. գումարով։ Գրանցումը վերականգնված է։