Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԾՆՆԴՅԱՆ ՕՐՎԱ ԳՈՒՇԱԿՈՒՄԸ===

'''''Խնդիր'''''

Անորոշ հավասարումներ լուծել կարողանալը հնարավորություն է տալիս կատարելու մաթեմատիկական հետևյալ ֆոկուսը։

Դուք առաջարկում եք ձեր ընկերոջը իր ծննդյան ամսաթիվը բազմապատկել <math>12</math>-ով, իսկ ամսվա համարը՝ <math>31</math>-ով։ Նա հաղորդում է ձեզ երկու արտադրյալների գումարը, և դուք այդ թվով գտնում եք նրա ծննդյան ամիսը և ամսաթիվը։

Եթե, օրինակ, ձեր ընկերը ծնվել է փետրվարի <math>9</math>-ին, ապա նա կատարում է հետևյալ հաշվումները՝

<math>9 \cdot 2=108, \; 2 \cdot 31 = 62</math>

<math>108+62=170</math>։

Այդ վերջին թիվը՝ <math>170</math>-ը, նա հաղորդում է ձեզ, և դուք որոշում եք նրա մտածած ամսաթիվը։ Ինչպե՞ս։

'''''Լուծում'''''

Խնդիրը հանգում է ամբողջ և դրական թվերով՝

<math>12x + 31y \;=\; 170</math>

անորոշ հավասարման լուծմանը, ընդ որում <math>x</math> ամսաթիվը մեծ չէ <math>31</math>-ից, իսկ ամսվա <math>y</math> համարը մեծ չէ <math>12</math>-ից։

<math>x \;=\; \frac{170-31y}{12} \;=\; 14-3y + \frac{2+5y}{12} \;=\; 14-3y+t</math>,

<math>2+5y \;=\; 12t</math>,

<math>y \;=\; \frac{-2+12t}{5} \;=\; 2t - 2 \cdot \frac{1-t}{5} \;=\; 2t-2t_1</math>,

<math>1-t \;=\; 5t_1, \; t \;=\; 1-5t_1</math>,

<math>y \;=\; 2(1-5t_1)-2t_1 \;=\; 2-12t_1</math>,

<math>x \;=\; 14-3(2-12t_1)+1-5t_1 \;=\; 9+31t_1</math>։

Գիտենալով, որ <math>31 \geq x>0</math> և <math>12 \geq y > 0</math>, գտնում ենք <math>t_1</math>-ի համար հետևյալ սահմանները՝

<math>-\frac{9}{31} < t_1 < \frac{1}{6}</math>։

Հետևաբար՝

<math>t_1=0, \; x=9, \; y=2</math>։

Ծննդյան ամսաթիվը երկրորդ ամսվա <math>9</math>-րդ թիվն է, այսինքն՝ փետրվարի <math>9</math>-ը։

Ապացուցենք, որ ֆոկուսը միշտ հաջողվում է, այսինքն՝ հավասարումը միշտ ունի դրական ամբողջ մեկ լուծում։ Այն թիվը, որ հաղորդեց ձեր ընկերը, նշանակենք <math>a</math>-ով, այդ դեպքում նրա ծննդյան ամսաթվի գտնելը հանգում է

<math>12x+31y \;=\; a</math>

հավասարման լուծմանը։

Դատենք «հակառակը»։ Ենթադրենք, որ այդ հավասարումն ունի երկու տարբեր դրական ամբողջ լուծումներ, այն է՝ <math>x_1, \; y_1</math> և <math>x_2, \; y_2</math>, ընդ որում <math>x_1</math>-ը և <math>x_2</math>-ը չեն գերազանցում <math>31</math>-ին, իսկ <math>y_1</math>-ը և <math>y_2</math>-ը չեն գերազանցում <math>12</math>-ին։

Մենք ունենք՝

<math>12x_1+31y_1 \;=\; a</math>,

<math>12x_2+31y_2 \;=\; a</math>։

Առաջին հավասարությունից հանելով երկրորդը, կստանանք՝

<math>12(x_1-x_2)+31(y_1-y_2) \;=\; 0</math>։

Այս հավասարությունից հետևում է, որ <math>12(x_1-x_2)</math> թիվը բաժանվում է <math>31</math>-ի։ Քանի որ <math>x_1 \text{ և } x_2</math> թվերը դրական են և չեն գերազանցում <math>31</math>-ին, ապա դրանց <math>x_1-x_2</math> տարբերությունը փոքր է <math>31</math>-ից։ Ուստի՝ <math>12(x_1-x_2)</math> թիվը կբաժանվի <math>31</math>-ի միայն այն դեպքում, երբ <math>x_1=x_2</math>, այսինքն՝ երբ առաջին լուծումը համընկնում է երկրորդի հետ։ Այսպիսով, երկու տարբեր լուծումների գոյության մասին ենթադրությունը բերում է հակասության։