Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ՃՏԵՐԻ ՎԱՃԱՌՔ===

'''''Հինավուրց խնդիր'''''

Երեք քույրեր շուկա եկան ճտեր վաճառելու։ Վաճառքի համար մեկը բերեց <math>10</math> ճուտ, մյուսը՝ <math>16</math>, երրորդը՝ <math>26</math>։ Մինչև կեսօր նրանք իրենց Ճտերի մի մասը վաճառեցին միևնույն գնով։ Կեսօրից հետո, վախենալով, որ բոլոր ճտերը չեն վաճառվի, նրանք իջեցրին գինը և մնացած բոլոր ճտերը նորից վաճառեցին միևնույն գնով։ Երեքն էլ տուն վերադարձան հավասար դրամով՝ յուրաքանչյուր քույրը վաճառքից ստացավ <math>33</math> ռուբլի։

Նրանք ի՞նչ գնով վաճառեցին ճտերը կեսօրից առաջ և հետո։

'''''Լուծում'''''

Մինչև կեսօր յուրաքանչյուր քրոջ վաճառած ճտերի թիվը նշանակենք <math>x, \; y, \; z</math>։ Օրվա երկրորդ կեսին նրանք վաճառեցին <math>10-x, \; 16-y, \; 26-z</math> ճուտ։ Մինչև կեսօր գինը նշանակենք <math>m</math>-ով, կեսօրից հետո՝ <math>n</math>-ով։ Պարզության համար զուգադրենք այդ նշանակումները.

<TABLE border = 0>
    <TR>
        <TD colspan=5 align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Վաճառված ճտերի թիվը</TD>
        <TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Գինը</TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;'>Մինչև կեսօր</TD>
        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'> . . . </TD>
        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>x</math></TD>
        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>y</math></TD>
        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>z</math></TD>
        <TD align=center style='border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>m</math></TD>
    </TR>
    <TR>
        <TD align=center style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Կեսօրից հետո</TD>
        <TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'> . . . </TD>
        <TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>10-x</math></TD>
        <TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>16-y</math></TD>
        <TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>26-z</math></TD>
        <TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>n</math></TD>
    </TR>
</TABLE>

Առաջին քույրը վաճառքից ստացավ՝

<math>mx+n(10-x)</math>, հետևաբար՝ <math>mx+n(10-x) \;=\; 35</math>,

երկրորդը՝

<math>my+n(16-y)</math>, հետևաբար՝ <math>my+n(16-y) \;=\; 35</math>,

երրորդը՝

<math>mz+n(26-z)</math>, հետևաբար՝ <math>mz+n(26-z) \;=\; 35</math>։

Ձևափոխենք այս երեք հավասարումները.

<math>
\begin{cases}
    (m-n)x+10n \;=\; 35, \\
    (m-n)y+16n \;=\; 35, \\
    (m-n)z+26n \;=\; 35։
\end{cases}
</math>

Երրորդ հավասարումից հանելով առաջինը, այնուհետև երկրորդը, հաջորդաբար կստանանք՝

<math>
\begin{cases}
    (m-n)(z-x)+16n \;=\; 0, \\
    (m-n)(z-y)+10n \;=\; 0։
\end{cases}
</math>

կամ

<math>
\begin{cases}
    (m-n)(x-z) \;=\; 16n, \\
    (m-n)(y-z) \;=\; 10n։
\end{cases}
</math>

Այս հավասարումներից առաջինը բաժանենք երկրորդի վրա՝

<math>\frac{x-z}{y-z} \;=\; \frac{8}{5}</math> կամ <math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{5}</math>։

Քանի որ <math>x</math>-ը, <math>y</math>-ը, <math>z</math>-ը ամբողջ թվեր են, ապա և <math>x-z, \; y-z</math> տարբերությունները նույնպես ամբողջ թվեր են։ Ոստի

<math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{5}</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{8}</math>։— ''Մ.''։</ref>

հավասարման գոյության համար անհրաժեշտ է, որ <math>x-z</math>-ը բաժանվի <math>8</math>-ի, իսկ <math>y-z</math>-ը՝ <math>5</math>-ի։

Հետևաբար՝

<math>\frac{x-z}{8} \;=\; t \;=\; \frac{y-x}{5}</math>,

որտեղից

<math>x \;=\; z+8t</math>,

<math>y \;=\; z+5t</math>։

Նկատենք, որ <math>t</math> թիվը ոչ միայն ամբողջ է, այլև դրական, քանի որ <math>x > z</math> (հակառակ դեպքում առաջին քույրը չէր կարող վաստակել այնքան, որ քան երրորդը)։

Քանի որ <math>x<10</math>, ապա <math>z+8t<10</math>։

Ամբողջ և դրական <math>z</math>-ի ու <math>t</math>-ի դեպքում վերջին անհավասարությունը բավարարվում է միայն մեկ դեպքում՝ երբ <math>z=1 \text{ և } t=1</math>։ Տեղադրելով այդ արժեքները

<math>z \;=\; z+8t</math> և <math>y \;=\; z+5t</math>

հավասարումների մեջ, գտնում ենք՝ <math>x=9, \; y=6</math>։

Այժմ անդրադառնանք հետևյալ հավասարումներին՝

<math>mx+n(10-x) \;=\; 35</math>,

<math>my+n(16-y) \;=\; 35</math>,

<math>mz+n(26-z) \;=\; 35</math>

և դրանց մեջ տեղադրենք <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի գտնված արժեքները. կիմանանք այն գները, որոնցով վաճառվեցին ճտերը՝

<math>m=3 \frac{3}{4}</math> ռուբ., <math>n=1 \frac{1}{4}</math> ռուբ.։

Այսպիսով, մինչև կեսօր վաճառվել են <math>3</math> ռուբ. <math>75</math> կոպ.-ով, կեսօրից հետո՝ <math>1</math> ռուբ. <math>25</math> կոպ.-ով։