Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԵՐԿՈՒ ԹՎԵՐ ԵՎ ՉՈՐՍ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ===

'''''Խնդիր'''''

Նախորդ խնդիրը, որը հանգեցրեց հինգ անհայտով երեք հավասարման, մենք լուծեցինք ոչ ընդհանուր ձևով, այլ մաթեմատիկական ազատ կշռադատությամբ։ Ճիշտ այդպես էլ կլուծենք երկրորդ աստիճանի անորոշ հավասարումների բերվող հետևյալ խնդիրները։

Ահա դրանցից առաջինը։

Երկու ամբողջ դրական թվերով կատարել են հետևյալ չորս գործողությունները՝

1) դրանք գումարել են.

2) մեծից հանել են փոքրը.

3) բազմապատկել են.

4) մեծը բաժանել են փոքրի վրա։

Ստացված արդյունքները գումարել են, որը կազմել է <math>243</math>։ Գտնել այդ թվերը։
Լուծում

Եթե մեծ թիվը <math>x</math> է, փոքրը՝ <math>y</math>, ապա

<math>(x+y)+(x-y)+xy+ \frac{x}{y} \;=\; 243</math>։

Եթե այս հավասարումը բազմապատկենք <math>y</math>-ով, այնուհետև բացենք փակագծերը և կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք՝

<math>x(2y+y^2+1) \;=\; 243</math>։

Բայց

<math>2y+y^2+1 \;=\; (y+1)^2</math>։

Ուստի՝

<math>x \;=\; \frac{243y}{(y+1)^2}</math>։

Որպեսզի <math>x</math>-ը լինի ամբողջ թիվ, <math>(y+1)^2</math> հայտարարը պետք է լինի <math>243</math>-ի բաժանարարներից մեկը (որովհետև <math>y</math>-ը <math>y+1</math>-ի հետ չի կարող ունենալ ընդհանուր արտադրիչներ)։ Գիտենալով, որ <math>243=3^5</math>–ի, եզրակացնում ենք, որ <math>243</math>-ը բաժանվում է միայն հետևյալ թվերի վրա, որոնք հանդիսանում են ճիշտ քառակուսիներ՝ <math>1, \; 3^2, \; 9^2</math>։ Այսպիսով՝ <math>(y+1)^2</math>-ն պետք է հավասար լինի <math>1, \; 3^2</math> կամ <math>9^2</math>, որտեղից (հիշելով, որ <math>y</math>-ը պետք է լինի դրական) գտնում ենք, որ <math>y</math>-ը հավասար է <math>8</math> կամ <math>2</math>։

Այդ դեպքում <math>x</math>-ը հավասար է

<math>\frac{243 \cdot 8}{81}</math> կամ <math>\frac{243 \cdot 2}{9}</math>։

Այսպիսով, որոնելի թվերն են՝ <math>24</math> և <math>8</math> կամ <math>54</math> և <math>2</math>։