Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ՊՅՈՒԹԱԳՈՐՅԱՆ ԹՎԵՐ===

Տեղանքում ուղղահայաց գծեր անցկացնելու համար հողաչափերի կողմից գործածվող շատ ճիշտ և հարմար միջոցը կայանում է հետևյալում։ Դիցուք, պահանջվում է. <math>A</math> կետով <math>MN</math> ուղղին տանել ուղղահայաց (գծ. 13)։ <math>A</math> կետից <math>AM</math> ուղղությամբ երեք անգամ տեղադրում են մի որևէ <math>a</math> հեռավորություն։ Այնուհետև լարի վրա կապում են երեք հանգույց, որոնց միջև եղած հեռավորությունները հավասար են <math>4a</math> և <math>5a</math>. Ծայրերի հանգույցները կցելով <math>A</math> և <math>B</math> կետերին, լարը ձգում են միջին հանգույցի կողմը։ Լարը ստանում է եռանկյան ձև, որի մեջ <math>A</math> անկյունը ուղիղ է։

Այդ հնադարյան եղանակը, որ կիրառում էին եգիպտական բուրգերի շինարարները դեռ հազարամյակներ սրանից առաջ, հիմնված էր այն բանի վրա, որ յուրաքանչյուր եռանկյան, եթե նրա կողմերը հարաբերում են՝ ինչպես <math>3 : 4 : 5</math>, համաձայն Պյութագորի հանրածանոթ թեորեմայի, ուղղանկյուն է, քանի որ

<math>3^2+4^2=5^2</math>։

Բացի <math>3, \; 4, \; 5</math> թվերից, ինչպես հայտնի է, գոյություն անեն անթիվ բազմությամբ ամբողջ դրական <math>a, \; b, \; c</math> թվեր, որոնք բավարարում են հետևյալ առնչությանը՝

<math>a^2+b^2=c^2</math>։

Դրանք կոչվում են ''Պյութագորյան'' թվեր։ Պյութագորի թեորեմայի համաձայն այդպիսի թվերը կարող են ծառայել որպես որոշ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններ. դրա համար էլ <math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն կոչվում են «էջեր», իսկ <math>c</math>-ն՝ «ներքնաձիգ»։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_13.png|200px|frameless|thumb|right]]

Պարզ է, որ եթե <math>a, \; b, \; c</math> թվերը Պյութագորյան թվերի եռյակ են, ապա <math>pa, \; pb, \; pc</math> (որտեղ <math>p</math>-ն ամբողջ արտադրիչ է) թվերը ևս պյութագորյան թվեր են։ Հակադարձաբար, եթե պյութագորյան թվերն ունեն ընդհանուր արտադրիչ, ապա այդ ընդհանուր արտադրիչով կարելի է դրանք բոլորը կրճատել, և նորից ստանալ պյութագորյան թվերի եռյակ։ Ուստի՝ սկզբում կհետազոտենք պյութադորյան թվերի միայն փոխադարձ պարզ եռյակները (մնացածները ստացվում են դրանցից՝ բազմապատկելով <math>p</math> ամբողջ արտադրիչով)։

Ցույց տանք, որ <math>a, \; b, \; c</math> տիպի եռյակներից յուրաքանչյուրի մեջ «էջեր»-ից մեկը պետք է լինի զույգ, իսկ մյուսը՝ կենտ։ Դատենք «հակառակը»։ Եթե <math>a</math> և <math>b</math> երկու «էջերն» էլ զույգ են, ապա զույգ կլինի <math>a^2+b^2</math> թիվը. նշանակում է զույգ է նաև «ներքնաձիգը»։ Սակայն, այդ հակասում է այն բանին, որ <math>a, \; b, \; c</math> թվերը չունեն ընդհանուր արտադրիչներ, քանի որ երեք զույգ թվերը ունեն <math>2</math> ընդհանուր արտադրիչը։ Այսպիսով, <math>a</math> և <math>b</math> «էջեր»-ից թեկուզ մեկը կենտ է։

Մնում է դարձյալ մի հնարավորություն։ Երկու «էջերն» էլ կենտ են, իսկ «ներքնաձիգը» զույգ է։ Դժվար չէ ապացուցել, որ այդ հնարավոր չէ։ Իրոք, եթե «էջերն» ունեն հետևյալ տեսքը՝

<math>2x+1</math> և <math>2y+1</math>,

ապա դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է

<math>4x^2+4x+1+4y^2+4y+1 \;=\; 4(x^2+x+y^2+y)+2</math>,

այսինքն` իրենից ներկայացնում է մի թիվ, որը <math>4</math>-ի բաժանելիս մնացորդում տալիս է <math>2</math>։ Այնինչ, ամեն մի զույգ թվի քառակուսին կբաժանվի <math>4</math>-ի վրա առանց մնացորդի։ Նշանակում է՝ երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը չի կարող լինել զույգ թվի քառակուսի. այլ կերպ ասած, մեր երեք թվերը պյութագորյան չեն։

Այսպիսով, <math>a, \; b</math> «էջեր»-ից մեկը զույգ է, իսկ մյուսը՝ կենտ։ Ուստի՝ <math>a^2 + b^2</math> թիվը կենտ է, իսկ այս նշանակում է, որ կենտ է նաև <math>c</math> «ներքնաձիգը»։

Պարզության համար, ենթադրենք, որ <math>a</math> «էջը» հանդիսանում է կենտ, իսկ <math>b</math>-ն՝ զույգ։

<math>a^2+b^2 \;=\; c^2</math>

հավասարությունից մենք հեշտությամբ կստանանք՝

<math>a^2 \;=\; c^2-b^2 \;=\; (c+b)(c-b)</math>։

Աջ մասում գրված <math>c+b</math> և <math>c-b</math> արտադրիչները փոխադարձ պարզ են։ Իրոք, եթե այդ թվերն ոնենային մեկից տարբեր ընդհանուր պարզ արտադրիչ, ապա այդ արտադրիչի վրա կբաժանվեր և՛ գումարը՝

<math>(c+b)+(c-b) \;=\; 2c</math>,

և՛ տարբերությունը՝

<math>(c+b)-(c-b) \;=\; 2b</math>,

և՛ արտադրյալը

<math>(c+b)(c-b) \;=\; a^2</math>,

այսինքն` <math>2c, \; 2b</math> և <math>a</math> թվերը կունենային ընղհանուր արտադրիչ։ Քանի որ <math>a</math>-ն կենտ է, ապա այդ արտադրիչը երկուսից տարբեր է, և այս պատճառով էլ <math>a, \; b, \; c</math> թվերն ունեն հենց այդ ընդհանուր արտադրիչը, որը, սակայն, հնարավոր չէ։

Ստացված հակասությունը ցույց է տալիս, որ <math>c+b</math> և <math>c-b</math> թվերը փոխադարձ պարզ են։

Բայց եթե փոխադարձ պարզ թվերի արտադրյալը ճիշտ քառակուսի է, ապա դրանցից յուրաքանչյուրը հանդիսանում է քառակուսի, այսինքն՝

<math>
\begin{cases}
    c+b \;=\; m^2, \\
    c-b \;=\; n^2։
\end{cases}
</math>

Լուծելով այս սիստեմը, գտնում ենք՝

<math>c \;=\; \frac{m^2+n^2}{2}, \;\; b \;=\; \frac{m^2-n^2}{2}</math>,

<math>a^2 \;=\; (c+b)(c-b) \;=\; m^2n^2, \; a \;=\; mn</math>։

Այսպիսով, դիտարկված պյութագորյան թվերն ունեն հետևյալ տեսքը՝

<math>a \;=\; mn, \; b \;=\; \frac{m^2-n^2}{2}, \; c \;=\; \frac{m^2+n^2}{2}</math>,

որտեղ <math>m</math>-ը և <math>n</math>-ը որոշ փոխադարձ պարզ, կենտ թվեր են։ Ընթերցողը կարող է հեշտությամբ. համոզվել և հակադարձի մեջ՝ ցանկացած կենտ <math>m</math>-ի և <math>n</math>-ի դեպքում գրված բանաձևերը տալիս են պյութագորյան <math>a, \; b, \; c</math> երեք թվեր։

Ահա պյութագորյան թվերի մի քանի եռյակներ, որոնք ստացվում են <math>m</math>-ի և <math>n</math>-ի տարբեր արժե քների դեպքում՝

<math>
\begin{array}{ll}
\text{երբ } \; m=3, \; & n=1 \;\;\;\; 3^2+4^2=5^2 \\
\text{երբ } \; m=5, \; & n=1 \;\;\;\; 5^2+12^2=13^2 \\
\text{երբ } \; m=7, \; & n=1 \;\;\;\; 7^2+24^2=25^2 \\
\text{երբ } \; m=9, \; & n=l \;\;\;\; 9^2+40^2=41^2 \\
\text{երբ } \; m=11, \; & n=1 \;\;\;\; 11^2+60^2=61^2 \\
\text{երբ } \; m=13, \; & n=1 \;\;\;\; 13^2+84^2=85^2 \\
\text{երբ } \; m=5, \; & n=3 \;\;\;\; 15^2+8^2=17^2 \\
\text{երբ } \; m=7, \; & n=3 \;\;\;\; 21^2+20^2=29^2 \\
\text{երբ } \; m=11, \; & n=3 \;\;\;\; 33^2+56^2=65^2 \\
\text{երբ } \; m=13, \; & n=3 \;\;\;\; 39^2+80^2=89^2 \\
\text{երբ } \; m=7, \; & n=3 \;\;\;\; 35^2+12^2=37^2 \\
\text{երբ } \; m=9, \; & n=5 \;\;\;\; 45^2+28^2=53^2 \\
\text{երբ } \; m=11, \; & n=5 \;\;\;\; 55^2+48^2=73^2 \\
\text{երբ } \; m=13, \; & n=5 \;\;\;\; 65^2+72^2=97^2 \\
\text{երբ } \; m=9, \; & n=7 \;\;\;\; 63^2+16^2=65^2 \\
\text{երբ } \; m=11, \; & n=7 \;\;\;\; 77^2+36^2=85^2
\end{array}
</math>։

(Պյութագորյան թվերի մնացած բոլոր եռյակները կա՛մ ունեն ընդհանուր արտադրիչներ, կա՛մ պարունակում են թվեր, որ մեծ են հարյուրից)։

Պյութագորյան թվերն ընդհանրապես մի շարք հետաքրքիր առանձնահատկություններ ունեն, որոնք մենք ստորև կթվարկենք առանց ապացուցումների։

1) «էջեր»-ից մեկը պետք է ''երեքի'' բազմապատիկը լինի։

2) «էջեր»-ից մեկը պետք է ''չորսի'' բազմապատիկը լինի։

3) Պյութագորյան թվերից մեկը պետք է ''հինգի'' բազմապատիկը լինի։

Ընթերցողը կարող է համոզվել այդ հատկությունների առկայության մեջ՝ նայելով պյութագորյան թվերի խմբերի վերը բերված օրինակները։