Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԵՐՐՈՐԴ ԱՍՏԻՃԱՆԻ ԱՆՈՐՈՇ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ===

Երեք ամբողջ թվերի խորանարդների գումարը կարող է լինել չորրորդ թվի խորանարդը։ Օրինակ՝

<math>3^3+4^3+5^3 \;=\; 6^3</math>։

Այդ նշանակում է, ի միջի այլոց, որ խորանարդը, որի կողը հավասար է <math>6 \; սմ</math>-ի, հավասարամեծ է երեք այնպիսի խորանարդների գումարին, որոնց կողերը հավասար են՝ <math>3 \; սմ, \; 4 \; սմ \text{ և } 5 \; սմ</math> (նկ. 14). այս առնչությունը, ըստ ավանդության, Պլատոնին չափազանց զբաղեցրել է։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_14.png|300px|frameless|thumb|center]]

Փորձենք գտնել այդպիսի տեսքի այլ առնչություններ, այսինքն՝ մեր առջև դնենք այսպիսի խնդիր՝ գտնել <math>x^3+y^3+z^3 \;=\; u^3</math> հավասարման լուծուքմները։ Հարմար է, սակայն, <math>u</math> անհայտը նշանակել <math>-t</math>-ով։ Այդ դեպքում հավասարումը կունենա ավելի պարզ տեսք

<math>x^3+y^3+z^3+t^3 \;=\; 0</math>։

Դիտարկենք այն եղանակը, որը թույլ է տալիս գտնել այդ հավասարման անթիվ բազմությամբ ամբողջական լուծումները (դրական և բացասական)։ Դիցուք <math>a, \; b, \; c, \; d</math> և <math>α, \; β, \; γ, \; δ</math> երկու քառյակ թվեր են, որոնք բավարարում են հավասարմանը։ Առաջին քառյակի թվերին ավելացնենք երկրորդ քառյակի թվերը՝ նախապես դրանք բազմապատկելռվ մի որոշ <math>k</math> թվով, և աշխատենք <math>k</math> թիվն ընտրել այնպես, որ ստացված

<math>a+kα, \; b+kβ, \; c+kγ, \; d+kδ</math>

թվերը նույնպես բավարարեն մեր հավասարմանը։ Այլ կերպ ասած, <math>k</math>-ն ընտրենք այն ձևով, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը՝

<math>(a+kα)^3+(b+kβ)^3+(c+kγ)^3+(d+kδ)^3 \;=\; 0</math>։

Բացելով փակագծերը և վերհիշելով, որ <math>a, \; b, \; c, \; d</math> և <math>α, β, γ, δ</math> քառյակ թվերը բավարարում են մեր հավասարմանը, այսինքն՝ տեղի կունենան

<math>a^3+b^3+c^3+d^3 \;=\; 0, \; α^3+β^3+γ^3+δ^3 \;=\; 0</math>,

հավասարությունները, մենք կստանանք՝

<math>3a^2kα+3ak^2α^2+3b^2kβ+3bk^2β^2+3c^2kγ+3ck^2γ^2+3d^2kδ+3dk^2δ^2 \;=\; 0</math>

կամ

<math>3k[(a^2α+b^2β+c^2γ+d^2δ)+k(aα^2+bβ^2+cγ^2+dδ^2)] \;=\; 0</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>3k[(a^2α+b^3β+c^2γ+d^2δ)+ k(aα^2+bβ^2+cγ^2+dδ^2)] \;=\; 0</math>։— ''Մ.''։</ref>

Արտադրյալը կարող է դառնալ զրո միայն այն դեպքում, երբ նրա արտադրիչներից գոնե մեկը դառնում է զրո։ Արտադրիչներից յուրաքանչյուրը հավասարեցնելով զրոյի, <math>k</math>-ի համար մենք կստանանք երկու արժեքներ։ Առաջին արժեքը <math>k=0</math>, մեզ չի հետաքրքրում. այն նշանակում է, որ եթե <math>a, \; b, \; c, \; d</math> թվերին ոչինչ չավելացնենք, ապա ստացված թվերը բավարարում են մեր հավասարմանը։ Ուստի՝ մենք <math>k</math>-ի համար վերցնում ենք միայն երկրորդ արժեքը՝

<math>k \;=\; -\frac{a^2α+b^2β+c^2γ+d^2δ} {aα^2+bβ^2+cγ^2+dδ^2}</math>։

Այսպիսով, գիտենալով թվերի երկու քառյակներ, որոնք բավարարում են սկզբնական հավասարմանը, հնարավոր է գտնել նոր քառյակ. դրա համար պետք է առաջին քառյակի թվերին ավելացնել երկրորդ քառյակի թվերը՝ դրանք նախապես բազմապատկելով <math>k</math>-ով, որտեղ <math>k</math>-ն ունի վերը գրված արժեքը։

Այդ եղանակը կիրառելու համար պետք է գիտենալ թվերի երկու քառյակներ, որոնք բավարարում են սկզբնական հավասարմանը։ Այդպիսի մի քառյակ <math>(3, \; 4, \; 5, \; 6)</math> մենք արդեն գիտենք։ Որտեղի՞ց վերցնել ևս մեկ քառյակ։ Այդ դրությունից դուրս գալը շատ հեշտ է՝ որպես երկրորդ քառյակ կարելի է վերցնել <math>r, \; -r, \; s, \; -s</math> թվերը, որոնք, ակնհայտորեն, բավարարում են սկզբնական հավասարմանը։ Այլ կերպ ասած, ընդունենք

<math>a=3, \; b=4, \; c=5, \; d=6</math>,

<math>α=r, \; β=-r, \; γ=s, \; δ=-s</math>։

Այդ դեպքում, ինչպես հեշտ է նկատել, <math>k</math>-ի համար մենք կստանանք հետևյալ արժեքը՝

<math>k \;=\; -\frac{-7r-11s}{7r^2-s^2} \;=\; \frac{7r+11s}{7r^2-s^2}</math>,

իսկ <math>a+kα, \; b+kβ, \; c+kγ, \; d+kδ</math> թվերը համապատասխանորեն հավասար կլինեն

<math>\frac{28r^2+11rs-3s^2}{7r^2-s^2}, \;\; \frac{21r^2-11rs-4s^2}{7r^2-s^2}, \;\; \frac{35r^2+7rs+6s^2}{7r^2-s^2}, \;\; \frac{-42r^2-7rs-5s^2}{7r^2-s^2}</math>։

Համաձայն վերը ասվածի, այդ չորս արտահայտությունները բավարարում են

<math>x^3+y^3+z^3+t^3 \;=\; 0</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>x^3+y^3+z^3-t^3 \;=\; 0</math>։— ''Մ.''։</ref>

սկզբնական հավասարմանը։

Քանի որ այդ բոլոր արտահայտություններն ունեն միատեսակ հայտարար, ապա այն կարելի է դեն գցել (այսինքն՝ այդ կոտորակների համարիչները նույնպես բավարարում են դիտարկվող հավասարմանը)։ Այսպիսով, գրված հավասարմանը բավարարում են (ցանկացած <math>r</math>-ի և <math>s</math>-ի դեպքում) հետևյալ թվերը՝

<math>x \;=\; 28r^2+11rs-3s^2</math>,

<math>y \;=\; 21r^2-11rs-4s^2</math>,

<math>z \;=\; 35r^2+7rs+6s^2</math>,

<math>t \;=\; -42r^2-7rs-5s^2</math>,

այդ բանում, իհարկե, կարելի է համոզվել և անմիջականորեն՝ այդ արտահայտությունները խորանարդ բարձրացնելով և գումարելով։ <math>r</math>-ին և <math>s</math>-ին տալով տարբեր, ամբողջ արժեքներ՝ մենք կարող ենք ստանալ մեր հավասարման ամբողջական լուծումների մի ամբողջ շարք։ Եթե այդ դեպքում ստացված թվերը կունենան ընդհանուր արտադրիչ, ապա նրա վրա կարելի է այդ թվերը բաժանել։ Օրինակ, երբ <math>r=1, \; s=1</math>, <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի, <math>t</math>-ի համար կստանանք հետևյալ արժեքները՝ <math>36, \;6, \; 48, \; -54</math> կամ <math>6</math>-ով կրճատելուց հետո՝ <math>6, \; 1, \; 8, \; -9</math> արժեքները։ Այսպիսով՝

<math>6^3+1^3+8^3=9^3</math>։

Ահա ևս նույն տիպի հավասարությունների մի ամբողջ շարք (որոնք ստացվում են ընդհանուր արտադրիչով կրճատելուց հետո).

երբ <math>r=1, \; s=2 \;\; 38^3+73^3=17^3+76^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=3 \;\; 17^3+55^3=24^3+54^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=5 \;\; 4^3+110^3=67^3+101^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=4 \;\; 8^3+53^3=29^3+50^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=-1 \;\; 7^3+14^3+17^3=20^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=-2 \;\; 2^3+16^3=9^3+15^3</math>,

երբ <math>r=2, \; s=-1 \;\; 29^3+34^3+44^3=53^3</math>։

. . . . . . . . . . .

Նկատենք, որ եթե <math>3, \; 4, \; 5, \; -6</math> սկզբնական քառյակի մեջ կամ հենց նոր ստացված քառյակներից մեկի մեջ թվերի տեղերը փոխենք և կիրառենք նույն եղանակը, ապա կստանանք լուծումների նոր սերիա։ Օրինակ՝ վերցնելով <math>3, \; 5, \; 4, \; -6</math> քառյակը (այսինքն՝ ենթադրելով <math>a=3, \; b=5, \; c=4, \; d=-6</math>), մենք <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի, <math>t</math>-ի համար կստանանք հետևյալ արժեքները՝

<math>x \;=\; 20r^2+10rs-3s^2</math>,

<math>y \;=\; 12r^2-10rs-5s^2</math>,

<math>z \;=\; 16r^2+8rs+6s^2</math>,

<math>t \;=\; -24r^2-8rs-4s^2</math>։

Այստեղից <math>r</math>-ի և <math>s</math>-ի տարբեր արժեքների դեպքում կստանանք նոր առնչություններ՝

երբ <math>r=1, \; s=1 \;\; 9^3+10^3=1^3+12^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=3 \;\; 23^3+94^3=63^3+84^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=5 \;\; 5^3+163^3+164^3=206^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=6 \;\; 7^3+54^3+57^3=70^3</math>,

երբ <math>r=2, \; s=1 \;\; 23^3+97^3+86^3=116^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=-3 \;\; 3^3+36^3+37^3=46^3</math>

և այլն։

Այս ճանապարհով կարելի է ստանալ դիտարկվող հավասարման համար անթիվ բազմությամբ լուծումներ։