Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

==ԳԼՈՒԽ ՀԻՆԳԵՐՈՐԴ։ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՑԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ==

===ՎԵՑԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ===

Գումարումը և բազմապատկումը ունեն մեկական հակադարձ գործողություն, որոնք կոչվում են հանում և բաժանում։ Մաթեմատիկական հինգերորդ գործողությունը՝ աստիճան բարձրացնելն ունի երկու հակադարձ գործողություն՝ հիմքի գտնելը և ցուցչի գտնելը։ Հիմքի գտնելը մաթեմատիկական ''վեցերորդ'' գործողությունն է և կոչվում է արմատ հանել։ Ցուցչի գտնելը՝ յոթերորդ գործողությունն է, որը կոչվում է լոգարիթմում։ Այն պատճառը, որ աստիճան բարձրացնելն ունի երկու հակադարձ գործողություն, իսկ գումարումը և բազմապատկումը միայն մեկական, հասկանալ դժվար չէ. երկու գումարելիներն էլ (առաջին և երկրորդ) իրավահավասար են, դրանց տեղերը կարելի է փոխել, նույնը ճիշտ է բազմապատկման վերաբերյալ։ Սակայն այն թվերը, որ մասնակցում են աստիճան բարձրացնելուն, այսինքն՝ հիմքը և աստիճանի ցուցիչը իրավահավասար չեն. դրանց տեղափոխել ընդհանրապես չի կարելի (օրինակ՝ <math>3^5 \neq 5^3</math>)։ 

Ուստի, գումարման և բազմապատկման մեջ մասնակցող թվերից յուրաքանչյուրի գտնելը կատարվում է նույն ձևով, իսկ աստիճանի հիմքի և աստիճանի ցուցչի գտնելը՝ տարբեր ձևերով։

Վեցերորդ գործողությունը՝ արմատ հանելը, նշանակվում է <math>\sqrt{}</math> նշանով։ Ոչ բոլորը գիտեն, որ դա լատինական «արմատ» բառի <math>r</math> սկզբնատառի ձևափոխությունն է։ Եղել է ժամանակ (XVI դ.), երբ արմատի նշանը ծառայել է ոչ թե փոքրատառը, այլ <math>R</math> գլխատառը, իսկ նրա կողքին գրվել է լատինական «քառակուսի» բառի առաջին տառը (<math>q</math>) կամ «խորանարդ» բառի առաջին տառը (<math>c</math>) որպեսզի ցույց տրվեր, թե ինչպիսի արմատ էր պահանջվում հանել<ref>Մագնիցկու մաթեմատիկայի դասագրքում, որով մեզ մոտ սովորել են 18-րդ դարի ամբողջ առաջին կեսի ընթացքում, բոլորովին էլ չկա հատուկ նշան արմատ հանելու գործողության համար։</ref>։ Օրինակ՝ այժմյան <math>\sqrt{4352}</math> նշանակման փոխարեն գրում էին

<math>R \cdot q \cdot 4352</math>։

Եթե դրան ավելացնենք, որ այն դարաշրջանում դեռ գործածական չէին պլյուսի, մինուսի համար ներկայիս նշանները, իսկ դրանց փոխարեն գրում էին <math>p</math> և <math>m</math> տառեր, և որ մեր փակագծերը փոխարինվում էին <math>< \; ></math> նշաններով, ապա պարզ է դառնում, թե ժամանակակից տեսանկյունով ինչպիսի անսովոր տեսք պետք է ունենար հանրահաշվական արտահայտությունները։

Ահա մի օրինակ հնագույն մաթեմատիկոս Բոմբելլիի գրքից (1572)։

<math>R \cdot c \; \llcorner \; R \cdot q \cdot 4352 p \cdot 16 \; \lrcorner \; m \cdot R \cdot c \; \llcorner \; R \cdot q \cdot 4352 m \cdot 16 \; \lrcorner</math>։

Մենք կգրենք միևնույնը այլ նշաններով՝

<math>\sqrt[3]{\sqrt{4352}+16} \;-\; \sqrt[3]{\sqrt{4352}-16}</math>։

Բացի <math>\sqrt[n]{a}</math> նշանակումից, այժմ գործածվում է նույն գործողության համար դարձյալ մի ուրիշը՝ <math>a^{\frac{1}{n}}</math>, որ ընդհանրացման իմաստով խիստ հարմար է. այն ակնհայտ ընդգծում էյ որ յուրաքանչյուր արմատ ոչ այլ ինչ է, քան աստիճան, որի ցուցիչը կոտորակային թիվ է։ Այն առաջադրվել է 16-րդ դարի հոլանդական նշանավոր մաթեմատիկոս Ստեվինի կողմից։

===Ո՞ՐՆ Է ՄԵԾ===

'''''Խնդիր առաջին'''''

Ո՞րն է մեծ՝ <math>\sqrt[5]{5}</math>-ը, թե՞ <math>\sqrt{2}</math>-ը։

Այս և հետագա խնդիրները պահանջվում է լուծել, ''առանց արմատների արժեքները հաշվելու''։

'''''Լուծում'''''

Երկու արտահայտություններն էլ բարձրացնելով <math>10</math>-րդ աստիճան, կստանանք՝

<math>\left(\sqrt[5]{5}\right)^{10} = 5^2 = 25, \; \left(\sqrt{2}\right)^{10} = 2^5 = 32</math>։

Քանի որ <math>32 > 25</math>, ապա

<math>\sqrt{2} > \sqrt[5]{5}</math>։

'''''Խնդիր երկրորդ'''''

Ո՞րն է մեծ՝ <math>\sqrt[4]{4}</math>-ը թե՞ <math>\sqrt[7]{7}</math>-ը։

'''''Լուծում'''''

Երկու արտահայտություններն էլ բարձրացնելով <math>28</math>-րդ աստիճան, կստանանք՝

<math>\left(\sqrt[4]{4}\right)^{28} = 4^7 = 2^{14} = 2^7 \cdot 2^7 = 128^2</math>,

<math>\left(\sqrt[7]{7}\right)^{28} = 7^4 = 7^2 \cdot 7^2 = 49^2</math>։

Քանի որ <math>128 > 49</math>, ապա և

<math>\sqrt[4]{4} > \sqrt[7]{7}</math>։

'''''Խնդիր երրորդ'''''

Ո՞րն է մեծ` <math>\sqrt{7} + \sqrt{10}</math>-ը, թե՞ <math>\sqrt{3} + \sqrt{19}</math>-ը։

'''''Լուծում'''''

Երկու արտահայտությունն էլ բարձրացնելով քառակուսի, կստանանք՝

<math>\left(\sqrt{7} + \sqrt{10}\right)^2 = 17 + 2\sqrt{70}</math>,

<math>\left(\sqrt{3} + \sqrt{19}\right)^2 = 22 + 2\sqrt{57}</math>։

Երկու արտահայտությունն էլ փոքրացնենք <math>17</math>-ով, կստանանք

<math>2\sqrt{70}</math> և <math>5 + 2\sqrt{57}</math>։

Այդ արտահայտությունները բարձրացնենք քառակուսի։ Կունենանք՝

<math>280</math> և <math>253 + 20\sqrt{57}</math>։

Հանելով <math>253</math>-ական, համեմատենք՝

<math>27</math> և <math>20\sqrt{57}</math>։

Քանի որ <math>\sqrt{57}</math> մեծ է <math>2</math>-ից, ապա <math>20\sqrt{57} > 40</math>,

հետևաբար՝

<math>\sqrt{3} + \sqrt{19} > \sqrt{7} + \sqrt{10}</math>։

===ԼՈՒԾԵԼ ՄԵԿ ՀԱՅԱՑՔՈՎ===

'''''Խնդիր'''''

Ուշադրությամբ նայեցեք

<math>x^{x^3} \;=\; 3</math>

հավասարմանը և ասացեք` ինչի՞ է հավասար <math>x</math>-ը։

'''''Լուծում'''''

Հանրահաշվական սիմվոլների հետ լավ վարժված յուրաքանչյուր ոք հասկանում է, որ

<math>x \;=\; \sqrt[3]{3}</math>։

Իրոք. այդ դեպքում

<math>x^3 \;=\; \left(\sqrt[3]{3}\right)^3 \;=\; 3</math>,

և հետևաբար,

<math>x^{x^3} \;=\; x^3 \;=\; 3</math>,

այն, ինչ պահանջվում էր։

Ում համար «մեկ հայացքով լուծումը» հանդիսանում է ուժից վեր, նա կարող է հեշտացնել անհայտի որոնելը հետևյալ ձևով.

Դիցուք

<math>x^3 \;=\; y</math>։

Այդ ժամանակ

<math>x = \sqrt[3]{y}</math>,

և հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

<math>\left(\sqrt[3]{y}\right)^y \;=\; 3</math>,

կամ բարձրացնելով խորանարդ՝

<math>y^y \;=\; 3^3</math>։

Պարզ է, որ <math>y=3</math> և, հետևաբար,

<math>x \;=\; \sqrt[3]{y} \;=\; \sqrt[3]{3}</math>։

===ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ ԿՈՄԵԴԻԱՆԵՐ===

'''''Խնդիր առաջին'''''

Մաթեմատիկական վեցերորդ գործողությունը հնարավորություն է տալիս իսկական հանրահաշվական կոմեդիաներ և ֆարսեր ցուցադրել այնպիսի սյուժեներով, ինչպես՝ <math>2 \cdot 2 = 5, \; 2=3</math> և այլն։ Մաթեմատիկական նման ներկայացումների հումորը նրանում է, որ սխալը բավականին տարրական է, մասամբ քողարկվում և միանգամից աչքի չի ընկնում։

Այդ կոմիկական ռեպերտուարից ներկայացնենք երկու պիես հանրահաշվի վերաբերյալ։

Առաջին՝

<math>2=3</math>։

Սկզբում գրատախտակին հայտնվում է հետևյալ անվիճելի հավասարությունը՝

<math>4-10=9-15</math>։

Հաջորդ «էտապում» հավասարության երկու մասերին էլ ավելացվում եմ հավասար մեծություններ՝ <math>6\frac{1}{4}</math>,

<math>4-10 + 6\frac{1}{4} \;=\; 9-15+6\frac{1}{4}</math>։

Կոմեդիայի հետագա քայլը կայանում է հետևյալ ձևափոխությունում,

<math>2^2-2 \cdot 2 \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2 \;=\; 3^2-2 \cdot 3 \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2</math>,

<math>\left(2-\frac{5}{2}\right)^2 \;=\; \left(3-\frac{5}{2}\right)^2</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\left(2-\frac{5}{2}\right)^2 \;=\; \left(3-\frac{5}{5}\right)^2</math>։— ''Մ.''։</ref>

Հավասարության երկու մասից էլ քառակուսի արմատ հանելով, ստանում են՝

<math>2-\frac{5}{2} = 3-\frac{5}{2}</math>։

Երկու մասին էլ ավելացնելով <math>\frac{5}{2}</math>, հանգում են անհեթեթ հավասարության՝

<math>2=3</math>։

Որտե՞ղ է թաքնված սխալը։

'''''Լուծում'''''

Սխալը սպրդեց հետևյալ եզրակացության մեջ՝

<math>\left(2-\frac{5}{2}\right)^2 \;=\; \left(3-\frac{5}{2}\right)^2</math>։

հավասարությունից արվել է հետևություն, որ

<math>2-\frac{5}{2} = 3-\frac{5}{2}</math>։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_15.png|400px|frameless|thumb|center]]

Բայց քառակուսիների հավասարությունից երբեք չի հետևում, որ հավասար են նաև առաջին աստիճանները։ Չէ՞ որ <math>(-5)^2 = 5^2</math>, բայց <math>-5</math>-ը հավասար չէ <math>5</math>-ի։ Քառակուսիները կարող են հավասար լինել և այն դեպքում, երբ առաջին աստիճանները տարբերվում են նշաններով։ Մեր օրինակում մենք ունենք հենց այդպիսի դեպք՝

<math>\left(-\frac{1}{2}\right)^2 \;=\; \left(\frac{1}{2}\right)^2</math>,

բայց <math>-\frac{1}{2}</math>-ը հավասար չէ <math>\frac{1}{2}</math>-ի։

'''''Խնդիր երկրորդ'''''

Մյուս հանրահաշվական ֆարսը (նկ. 15)

<math>2 \cdot 2 = 5</math>

ներկայացվում է նախորդ ձևով և հիմնված է նույն տրյուկի վրա։ Գրատախտակի վրա հայտնվում է կասկած չհարուցող հետևյալ հավասարությունը՝

<math>16-36 = 25-45</math>։

Ավելացնում են հավասար թվեր՝

<math>16-36+20\frac{1}{4} = 25-45+20\frac{1}{4}</math>

և կատարում են հետևյալ ձևափոխությունները՝

<math>4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2 \;=\; 5^2-2 \cdot 5 \cdot \frac{9}{2} +\left(\frac{9}{2}\right)^2</math>,

<math>\left(4-\frac{9}{2}\right)^2 \;=\; \left(5-\frac{9}{2}\right)^2</math>։

Այնուհետև նույն ոչ օրինական եզրակացության միջոցով անցնում են ֆինալին՝

<math>4-\frac{9}{2} = 5-\frac{9}{2}</math>

<math>4=5</math>,

<math>2 \cdot 2 = 5</math>։

Այս կոմիկական դեպքերը սակավափորձ մաթեմատիկոսին պետք է նախազգուշացնեն արմատանշանի տակ անհայտ պարունակող հավասարումների հետ անզգույշ օպերացիաներ կատարելուց։


[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Ch6.png|800px|frameless|thumb|center]]