Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԷՅԼԵՐԻ ԽՆԴԻՐԸ===

Ստենդալը «Ինքնակենսագրության» մեջ իր ուսման տարիների մասին պատմում է հետևյալը.

«Ես նրա մոտ (մաթեմատիկայի ուսուցչի) գտա Էյլերին և նրա խնդիրը ձվերի թվի մասին, որոնք գեղչկուհին տանում էր շուկա... «Դա ինձ համար նորություն էր։ Ես հասկացա, թե ինչ է նշանակում օգտվել մի զենքից, որ կոչվում է հանրահաշիվ։ Բայց սատանան տանի, ոչ ոք ինձ այդ մասին ոչինչ չէր ասել»։

Ահա այդ խնդիրը Էյլերի «Հանրահաշվի ներածություն»-ից, որ երիտասարդ Ստենդալի վրա թողել էր այնքան ուժեղ տպավորություն։

Երկու գեղջկուհի միասին շուկա բերեցին <math>100</math> ձու, մեկը ավելի շատ, քան մյուսը. երկուսն էլ վաստակեցին հավասար 

գումարներ։ Այդ ժամանակ առաջինը երկրորդին ասաց՝ «Եթե քո ձվերը իմը լինեին, ես կվաստակեի <math>15</math> կրեյցեր։Երկրորդը պատասխանում է՝ «Իսկ եթե քո ձվերը իմը լինեին, ես դրանց դիմաց կվաստակեի <math>6\frac{2}{3}</math> կրեյցեր։ Քանի՞ ձու ուներ յուրաքանչյուրը։

'''''Լուծում'''''

Դիցուք առաջին գեղջկուհին ուներ <math>x</math> ձու. այդ ժամանակ երկրորդը կունենա՝ <math>100-x</math>։ Իսկ եթե առաջինը ունենար <math>100-x</math> ձու, ապա նա կստանար, ինչպես գիտենք, <math>15</math> կրեյցեր։ Նշանակում է, առաջին գեղջկուհին ձվերը կվաճառեր հատը

<math>\frac{15}{160-x}</math>-ով։

Այս ձևով դանում ենք, որ երկրորդ գեղջկուհին ձվերը վաճառել է հատը

<math>6\frac{2}{3} \;:\; x \;=\; \frac{20}{3x}</math>-ով։

Այժմ որոշենք յուրաքանչյուր գեղջկուհու իրականում ստացածը՝

առաջինը՝ <math>x \cdot \frac{15}{100-x} \;=\; \frac{15x}{100-x}</math>,

երկրորդը՝ <math>(100-x) \cdot \frac{20}{3x} \;=\; \frac{20(100-x)}{3x}</math>։

Քանի որ երկուսի մոտ էլ վաճառքից ստացած գումարները հավասար են, ապա

<math>\frac{15x}{100-x} \;=\; \frac{20(100-x)}{3x}</math>։

Ձևափոխությունից հետո կունենանք

<math>x^2+160x-8000 \;=\; 0</math>,

որտեղից

<math>x_1=40, \; x_2=-200</math>։

Տվյալ դեպքում բացասական արմատը իմաստ չունի. խնդիրն ունի միայն մեկ լուծում. առաջին գեղջկուհին բերել էր <math>40</math> ձու և ուրեմն երկրորդը՝ <math>60</math>։

Խնդիրը հնարավոր է լուծել այլ` ավելի կարճ ձևով։ Այդ ձևը անհամեմատ սրամիտ է, բայց դրա փոխարեն այն որոնելը զգալիորեն դժվար է։

Ենթադրենք, որ երկրորդ գեղջկուհին ուներ <math>k</math> անգամ ավելի շատ ձու, քան առաջինը։ Նրանք ստացել են միահավասար գումարներ. այդ նշանակում է, որ առաջին գեղջկուհին իր ձվերը վաճառել է <math>k</math> անգամ թանկ, քան երկրորդը։ Իսկ եթե նրանք վաճառելուց առաջ փոխանակեին ձվերը, ապա առաջին գեղջկուհին կունենար <math>k</math> անգամ ավելի շատ ձու, քան երկրորդը, և դրանց կվաճառեր <math>k</math> անգամ ավելի թանկ։ Այդ նշանակում է, որ նա կստանար <math>k^2</math>-ով ավելի փող, քան երկրորդը։ Հետևաբար, կունենանք՝

<math>k^2 \;=\; 15 \;:\; 6\frac{2}{3} \;=\; \frac{45}{20} \;=\; \frac{9}{4}</math>,

այստեղից

<math>k=\frac{3}{2}</math>։

Այժմ մնում է <math>100</math> ձուն բաժանել <math>3 \;:\; 2</math> հարաբերությամբ։ Հեշտությամբ կգտնենք, որ առաջին գեղջկուհին ուներ <math>40</math>, իսկ երկրորդը՝ <math>60</math> ձու։