Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԴԺՎԱՐ ԽՆԴԻՐ===

Բոգդանով-Բելսկու «Դժվար խնդիր» նկարը շատերին է հայտնի, բայց այդ նկարը դիտողներից քչերն են խորամուխ եղել այն «դժվար խնդրի» բովանդակության մեջ, որը պատկերված է նրա վրա։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_18.png|350px|frameless|thumb|center]]

Այն կայանում է նրանում, որպեսզի բանավոր հաշվով արագ գտնվի հետևյալ հաշվարկման արդյունքը՝

<math>\frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}</math>։

Իրոք խնդիրը հեշտ չէ։ Սակայն, նրանից լավ գլուխ հանեցին այն ուսուցչի աշակերտները, որը դեմքի նմանությամբ պատկերված է նկարում, դա հենց ինքը՝ բնական գիտությունների պրոֆեսոր Ս. Ա. Ռաչինսկին է, որը թողեց համալսարանի ամբիոնը գյուղական դպրոցի շարքային ուսուցիչ դառնալու համար։ Տաղանդավոր մանկավարժը իր դպրոցում մշակեց բանավոր հաշիվ, որ հիմնված էր թվերի հատկությունների վիրտուոզային օգտագործման վրա։ <math>10, \; 11, \; 12, \; 13</math> և <math>14</math> թվերն ունեն հետաքրքիր առանձնահատկություն.

<math>10^2+11^2+12^2=13^2+14^2</math>։

Բանի որ <math>100+121+144=365</math>, ապա հեշտ է մտքում հաշվել, որ նկարում վերարտադրված արտահայտությունը հավասար է <math>2</math>-ի։

Հանրահաշիվը մեզ հնարավորություն է տալիս թվերի այդ շարքի հետաքրքիր առանձնահատկության մասին հարցը ավելի լայն կերպով դնելու՝ միա՞կն է արդյոք հինգ հաջորդական թվերից կազմված այդ շարքը, որի առաջին երեք թվերի քառակուսիների գումարը հավասար է վերջին երկուսի քառակուսիների գումարին։

'''''Լուծում'''''

Նշանակելով որոնելի թվերից առաջինը <math>x</math>-ով, կունենանք հետևյալ հավասարումը՝

<math>x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 \;=\; (x+3)^2+(x+4)^2</math>։

Սակայն հարմար է նշանակել <math>x</math>-ով ոչ թե առաջին, այլ որոնելի թվերից ''երկրորդը''։ Այդ ժամանակ հավասարումը կունենա ավելի պարզ տեսք՝

<math>(x-1)^2+x^2+(x+1)^2 \;=\; (x+2)^2+(x+3)^2</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>(x-1)^2+x^2+(x+1)^2 \;=\; (x+2)^2+(x+3^2)</math>։— ''Մ.''։</ref>

Բացելով փակագծերը և կատարելով պարզեցումներ, կստանանք`

<math>x^2-10x-11=0</math>,

որտեղից

<math>x=5 \pm\sqrt{25+11}, \; x_1=11, \; x_2=-1</math>։

Հետևաբար՝ գոյություն ունեն թվերի երկու շարք, որոնք ունեն պահանջվող հատկությունը՝

Ռաչինսկու շարքը՝

<math>10, \; 11, \; 12, \; 13, \; 14</math>,

և հետևյալ շարքը՝

<math>-2, \; -1, \; 0, \; 1, \; 2</math>։

Իրոք՝

<math>(-2)^2+(-1)^2+0^2 = 1^2+2^2</math>։