Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԵՐԿՈՒ ԳՆԱՑՔ===

'''''Խնդիր'''''

Երկաթուղային երկու ճանապարհներ խաչվում են ուղիղ անկյան տակ։ Այդ ճանապարհներով դեպի խաչմերուկ միաժամանակ սլանում են երկու գնացք. մեկը այն կայարանից, որը գտնվում է խաչմերուկից <math>40 \; կմ</math>-ի վրա, իսկ մյուսը այն կայարանից, որը նույն խաչմերուկից գտնվում է <math>50 \; կմ</math>-ի վրա։ Առաջինն անցնում է րոպեում <math>800 \; մ</math>, երկրորդը՝ <math>600 \; մ</math>։ Գնացքների մեկնման պահից հաշված քանի՞ րոպե հետո նրանք միմյանցից կլինեն ամենափոքր հեռավորության վրա։ Որքա՞ն է այդ հեռավորությունը։

'''''Լուծում'''''

Գծենք մեր խնդրի գնացքների շարժման սխեման։ Դիցուք <math>AB</math>-ն և <math>CD</math>-ն ճանապարհի խաչվող ուղիներն են (նկ. 19)։ <math>B</math> կայարանը գտնվում է խաչման <math>O</math> կետից <math>40 \; կմ</math>-ի վրա։ <math>D</math> կայարանը՝ նրանից <math>30 \; կմ</math>-ի վրա։ Ենթադրենք, որ <math>x</math> րոպե անց գնացքները կլինեն միմյանցից ամենակարճ հեռավորության վրա՝ <math>MN=m</math>։ <math>B</math>-ից դուրս եկող գնացքն այդ պահին կանցնի <math>BM=0,8x</math> ճանապարհը, քանի որ մեկ րոպեի ընթացում նա անցնում է <math>800 \; մ = 0,8 \; կմ</math>։ Հետևաբար՝ <math>OM=40-0,8x</math>։ Ճիշտ այդպես էլ գտնենք, որ <math>ON=50-0,6x</math>։ Ըստ Պլութագորի թեորեմայի

<math>MN \;=\; m \;=\; \sqrt{\overline{OM}^2+\overline{ON}^2} \;=\; \sqrt{(40-0,8x)^2+(50-0,6x)^2}</math>։

<math>m \;=\; \sqrt{(40-0,8x)^2+(50-0,6x)^2}</math>։

Հավասարման երկու մասն էլ բարձրացնելով քառակուսի և կատարելով պարզեցումներ, կստանանք՝

<math>x^2-124x+4100-m^2 \;=\; 0</math>։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_19_20.png|400px|frameless|thumb|center]]

Լուծելով այս հավասարումը <math>x</math>-ի նկատմամբ, կունենանք

<math>x=62 \pm\sqrt{m^2-256}</math>։

Քանի որ <math>x</math>-ը անցած րոպեների թիվն է, ուստի կեղծ լինել չի կարող, ապա <math>m^2-256</math> պետք է լինի դրական մեծություն, կամ, ծայրահեղ դեպքում, հավասար զրոյի։ Վերջինը համապատասխանում է <math>m</math>-ի ''ամենափոքր'' հնարավոր արժեքին, և այդ դեպքում

<math>m^2=256</math>, այսինքն՝ <math>m=16</math>։

Ակնհայտ է, որ <math>m</math>-ը <math>16</math>-ից փոքր լինել չի կարող, այլապես <math>x</math>-ը կդառնա կեղծ։ Իսկ եթե <math>m^2-256=0</math>, ապա <math>x=62</math>։

Այսպիսով, գնացքները միմյանց ամենամոտ կլինեն <math>62</math> րոպե հետո, և նրանց փոխադարձ հեռավորությունն այդ ժամանակ կլինի <math>16 \; կմ</math>։

Որոշենք, թե այդ պահին ինչպես են նրանք դասավորված։ Հաշվենք <math>OM</math> երկարությունը. այն հավասար է

<math>40-62 \cdot 0,8=9,6</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>40-62 \cdot 08=9,6</math>։— ''Մ.''։</ref>։

Մինուս նշանը նշանակում է, որ գնացքն անցնում է խաչմերուկից դուրս <math>9,6 \; կմ</math>-ով։ Իսկ <math>ON</math> հեռավորությունը հավասար է

<math>50-62 \cdot 0,6=12,8</math>,

այսինքն՝ երկրորդ գնացքը խաչմերուկին չի հասնի. նրանից հեռու կմնա <math>12,8 \; կմ</math>-ով։ Գնացքների դասավորությունը ցույց է տրված 20-րդ նկարում։ Ինչպես տեսնում ենք, ընդհանրապես նա այն չէ, ինչը մենք պատկերացնում էինք մինչև խնդրի լուծումը։ Պարզվեց, որ այս հավասարումը բավականին դիմացկուն է և, չնայած ոչ ճիշտ սխեմայի, ստացվեց ճիշտ լուծում։ Դժվար չէ հասկանալ, թե որտեղից է այդ դիմացկունությունը. այն պայմանավորված է հանրահաշվական նշանների կանոններով։