Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ՈՐՏԵ՞Ղ ԿԱՌՈՒՑԵԼ ԿԱՅԱՐԱՆԸ===

'''''Խնդիր'''''

Երկաթուղու ուղղագիծ ճանապարհից <math>20 \; կմ</math> հեռավորության վրա գտնվում է <math>B</math> գյուղը (նկ. 21)։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_21.png|400px|frameless|thumb|center]]

Որտե՞ղ պետք է կառուցել <math>C</math> կիսակայարանը, որպեսզի <math>AC</math> երկաթուղով և <math>CB</math> խճուղով <math>A</math>-ից մինչև <math>B</math> գնալը խլի հնարավորին չափ քիչ ժամանակ։ Արագությունը երկաթուղով րոպեում <math>0,8</math> կիլոմետր է, խճուղով՝ <math>0,2</math> կիլոմետր։

'''''Լուծում'''''

<math>AD</math> հեռավորությունը (<math>A</math>-ից մինչև <math>AD</math>-ին տարված <math>BD</math> ուղղահայացի հիմքը) նշանակենք <math>a</math>-ով, <math>CD</math>-ն՝ <math>x</math>-ով։ Այդ դեպքում <math>AC=AD-CD=a-x</math>, իսկ <math>CB \;=\; \sqrt{CD^2+BD^2} \;=\; \sqrt{x^2+20^2}</math>։ Ժամանակը, որի ընթացքում գնացքն անցնում է <math>AC</math> ճանապարհը, հավասար է

<math>\frac{AC}{0,8} \;=\; \frac{a-x}{0,8}</math>։

<math>CB</math> ճանապարհը խճուղով անցնելու համար ժամանակը հավասար է

<math>\frac{CB}{0,2} \;=\; \frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2}</math>։

<math>A</math>-ից <math>B</math> գնալու ընդհանուր տևողությունը հավասար է

<math>\frac{a-x}{0,8}+\frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2}</math>։

Այս գումարը, որ նշանակում ենք <math>m</math>-ով, պետք է լինի ամենափոքրը։

<math>\frac{a-x}{0,8}+\frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2} \;=\; m</math>

հավասարումը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

<math>-\frac{x}{0,8}+\frac{\sqrt{x^2+20^2}}{0,2} \;=\; m-\frac{a}{0,8}</math>։

Բազմապատկելով <math>0,8</math>-ով, կունենանք՝

<math>-x+4\sqrt{x^2+20^2} \;=\; 0,8m-a</math>։

<math>0,8m-a</math>-ն նշանակելով <math>k</math>-ով և հավասարումը ազատելով արմատից, կստանանք. քառակուսի հավասարում՝

<math>15x^2-2kx+6400-k^2 \;=\; 0</math>,

որտեղից

<math>x \;=\; \frac{k \pm \sqrt{16k^2-96000}}{15}</math>։

Քանի որ <math>k=0,8m-a</math>, ապա <math>m</math>-ի ամենափոքր արժեքի դեպքում <math>k</math>-ն հասնում է ամենափոքր մեծության, և հակառակը<ref>Պետք է նկատի ունենալ, որ <math>k>0</math>, քանի որ<br><math>0,8m \;=\; a-x+4\sqrt{x^2+20^2} > a-x+x \;=\; a</math>։</ref>։ Բայց որպեսզի <math>x</math>-ը լինի իրական, <math>16x^2</math> պետք է լինի <math>96000</math>-ից ոչ փոքր։ Նշանակում է՝ <math>16k^2</math> համար ամենափոքր մեծությունը <math>96000</math>-ն է։ Ուստի՝ <math>m</math>-ը դառնում է ամենափոքր, երբ

<math>16k^2 \;=\; 96000</math>,

որտեղից

<math>k \;=\; \sqrt{6000}</math>,

և, հետևաբար,

<math>x \;=\; \frac{k \pm 0}{15} \;=\; \frac{\sqrt{6000}}{15} \approx 5,16</math>։

''Ինչպիսին էլ որ լինի <math>a=AD</math> երկարությունը'', կիսակայարանը պետք է կառուցել <math>D</math> կետից մոտավորապես <math>5 \; կմ</math> հեռավորության վրա։

Բայց, հասկանալի է, որ մեր լուծումն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ <math>x < a</math>, քանի որ հավասարումը կազմելիս մենք <math>a-x</math> արտահայտությունը հաշվեցինք դրական թիվ։

Եթե <math>x=a \approx 5,16</math>, ապա կիսակայարանի կառուցելը ընդհանրապես պետք չէ. խճուղին ուղղակի պետք է անցկացնել դեպի կայարան։ Այդպես պետք է վարվել և այն դեպքում, երբ <math>a</math> հեռավորությունը <math>5,16 \; կմ</math>-ից ավելի կարճ է։

Այս անգամ մենք ավելի կանխատեսող եղանք, քան թե հավասարումը։ Իսկ եթե մենք կուրորեն հավատայինք հավասարմանը, մենք ստիպված կլինեինք ներկա դեպքում կիսակայարանը կառուցել կայարանի հետևում, որը բացահայտ անհեթեթություն կլիներ, այդ դեպքում <math>x > a</math>, և այդ պատճառով

<math>\frac{a-x}{0,8}</math>

ժամանակը, որի ընթացքում հարկավոր է գնալ երկաթգծով, բացասական է։ Դեպքը ուսանելի է. այն ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկական զենքից օգտվելիս պետք է պատշաճ շրջահայացությամբ վերաբերվել ստացված արդյունքներին՝ հիշելով, որ դրանք կարող են կորցնել իրենց իրական իմաստը, եթե չիրականացվեն այն նախադրյալները, որոնց վրա հիմնված է մեր մաթեմատիկական զենքի կիրառությունը։