Editing Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ (section)

===ԱՐՏԱԴՐՅԱԼԸ ԵՐԲ Է ԼԻՆՈՒՄ ԱՄԵՆԱՄԵԾԸ===

«Մաքսիմումի և մինիմումի» վերաբերյալ շատ խնդիրներ լուծելու համար, այսինքն՝ փոփոխական մեծության ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու համար կարելի է օգտվել հանրահաշվական մի թեորեմայից, որի հետ այժմ մենք կծանոթանանք։ Դիտարկենք հետևյալ խնդիրը՝

Ինչպիսի՞ երկու մասի պետք է բաժանել տրված թիվը, որպեսզի դրանց արտադրյալը լինի ամենամեծը։

'''''Լուծում'''''

Դիցուք <math>a</math>-ն տրված թիվ է։ Այդ դեպքում մասերը, որոնցով բաժանված է <math>a</math> թիվը, կարելի է նշանակել

<math>\frac{a}{2}+x</math> և <math>\frac{a}{2}-x</math>,

որտեղ <math>x</math> թիվը ցույց է տալիս, թե այդ մասերն ի՛նչ մեծությամբ են տարբերվում <math>a</math> թվի կեսից։ Երկու մասերի արտադրյալը հավասար է

<math>\left(\frac{a}{2}+x\right)\left(\frac{a}{2}-x\right) \;=\; \frac{a^2}{4}-x^2</math>։

Պարզ է, որ վերցված մասերի արտադրյալը կմեծանա <math>x</math>-ի փոքրանալու դեպքում, այսինքն՝ այդ մասերի տարբերության փոքրանալու դեպքում։ Ամենամեծ արտադրյալը կլինի, երբ <math>x=0</math>, այսինքն՝ այն դեպքում, երբ երկու մասերն էլ հավասար են <math>\frac{a}{2}</math>-ի։

Այսպիսով, թիվը պետք է բաժանել ''երկու հավասար մասի''. երկու թվերի արտադրյալը (եթե դրանց գումարը հաստատուն է) կլինի ամենամեծ այն ժամանակ, երբ այդ թվերը միմյանց հավասար են։

Նույն հարցը քննարկենք ''երեք'' թվերի համար։

Ինչպիսի՞ երեք մասի պետք է բաժանել տրված թիվը, որպեսզի դրանց արտադրյալն ամենամեծը լինի։

'''''Լուծում'''''

Այս խնդիրը լուծելիս կհիմնվենք նախորդի վրա։

Դիցուք <math>a</math> թիվը բաժանված է երեք մասի։ Սկզբից ենթադրենք, որ մասերից ոչ մեկը հավասար չէ <math>\frac{a}{3}</math>-ի։ Այդ ժամանակ նրանց միջև կգտնվի մի մաս, որը մեծ է <math>\frac{a}{3}</math>-ից (բոլոր երեքն էլ միաժամանակ չեն կարող փոքր լինել <math>\frac{a}{3}</math>-ից). այն նշանակենք

<math>\frac{a}{3}+x</math>-ով.

ճիշտ նույնպես էլ նրանց միջև կգտնվի մի մաս, որը փոքր է <math>\frac{a}{3}</math>-ից. այն նշանակենք

<math>\frac{a}{3}-y</math>-ով.

<math>x</math> և <math>y</math> թվերը դրական են։ Երրորդ մասը, ակնհայտ է, որ հավասար կլինի

<math>\frac{a}{3}+y-x</math>։

<math>\frac{a}{3}</math> և <math>\frac{a}{3}+x-y</math> թվերն ունեն միևնույն գումարը, ինչ որ <math>a</math> թվի առաջին երկու մասերը, իսկ դրանց միջև տարբերությունը, այսինքն՝ <math>x-y</math>-ը փոքր է, քան առաջին երկու մասերի միջև եղած տարբերությունը, որ հավասար է <math>x+y</math>։ Ինչպես նախորդ խնդրի լուծումից մենք գիտենք, այստեղից հետևում է, որ

<math>\frac{a}{3}\left(\frac{a}{3}+x-y\right)</math>

արտադրյալը մեծ է, քան <math>a</math> թվի առաջին երկու մասերի արտադրյալը։

Այսպիսով, եթե <math>a</math> թվի առաջին երկու մասերը փոխարինենք

<math>\frac{a}{3}</math> և <math>\frac{a}{3}+x-y</math>

թվերով, իսկ երրորդը թողենք անփոփոխ, ապա արտադրյալը կմեծանա։

Դիցուք այժմ մասերից մեկն արդեն <math>\frac{a}{3}</math> է։ Այդ ժամանակ մյուս երկուսը կունենանք հետևյալ տեսքը՝

<math>\frac{a}{3}+z</math> և <math>\frac{a}{3}-z</math>։

Եթե մենք այդ վերջին երկու մասերը հավասարեցնենք <math>\frac{a}{3}</math>-ի (որից դրանց գումարը չի փոխվի), ապա արտադրյալը նորից կմեծանա և կդառնա հավասար

<math>\frac{a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{3} \;=\; \frac{a^3}{27}</math>։

Այսպիսով, եթե <math>a</math> թիվը բաժանված է <math>3</math> մասի, որոնք միմյանց հավասար չեն, ապա այդ մասերի արտադրյալը փոքր է, քան <math>\frac{a^3}{27}</math>-ը, այսինքն՝ քան ''երեք հավասար'' արտադրիչների արտադրյալը, որոնց գումարը կազմում է <math>a</math>։

Միանգամայն նույն ձևով կարելի է ապացուցել այդ թեորեման թե՛ ''չորս'' արտադրիչների համար և թե՛ ''հինգի'' համար և այլն։

Այժմ դիտարկենք ավելի ընդհանուր դեպք։

Գտնել <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի ո՛ր արժեքների դեպքում <math>x^py^q</math> արտահայտությունը կլինի ամենամեծը, եթե <math>x+y=a</math>։

'''''Լուծում'''''

Պետք է գտնել՝ <math>x</math>-ի ո՛ր արժեքի դեպքում

<math>x^p(a-x)^q</math>

արտահայտությունը հասնում է ամենամեծ արժեքի։ Այդ արտահայտությունը բազմապատկենք <math>\frac{1}{p^pq^q}</math> թվով։ Կստանանք նոր արտահայտություն՝

<math>\frac{x^p}{p^p} \frac{(a-x)^q}{q^q}</math>,

որը, ակներևաբար, հասնում է ամենամեծ մեծության միայն այն դեպքում, որ դեպքում՝ նախասկզբնականը։

Նոր ստացված արտահայտությունը ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

<math>\underbrace{\frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdots} _{p \text{ անգամ}} \underbrace{\frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdots} _{q \text{ անգամ}}</math>

Այս արտահայտության բոլոր արտադրիչների գումարը հավասար է

<math>\underbrace{\frac{x}{p} + \frac{x}{p} + \frac{x}{p} + \cdots} _{p \text{ անգամ}} + \underbrace{\frac{a-x}{q} + \frac{a-x}{q} + \cdots} _{q \text{ անգամ}} \;=\; \frac{px}{p} + \frac{q(a-x)}{q} \;=\; x+a-x \;=\; a</math>,

այսինքն՝ հաստատուն մեծության։

Հիմնվելով նախորդում ապացուցվածի վրա, եզրակացնում ենք, որ

<math>\frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdot \frac{x}{p} \cdots \frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdot \frac{a-x}{q} \cdots</math>

արտադրյալը հասնում է մաքսիմումի նրա բոլոր արտադրիչների հավասարության դեպքում, այսինքն, երբ

<math>\frac{x}{p} \;=\; \frac{a-x}{q}</math>։

Գիտենալով, որ <math>a-x=y</math> և տեղափոխելով անդամները, կստանանք հետևյալ համեմատությունը՝

<math>\frac{x}{y} \;=\; \frac{p}{q}</math>։

Այսպիսով, <math>x+y</math> գումարի հաստատուն լինելու դեպքում <math>x^py^q</math> հասնում է ամենամեծ մեծության այն ժամանակ, երբ

<math>x : y \;=\; p : q</math>։

Նույն ձևով կարելի է ապացուցել, որ

<math>x^py^qz^r, \; x^py^qz^rt^u</math> և այլն

արտադրյալնևրը <math>x+y+z, \; x+y+z+t</math> և այլն գումարների հաստատուն լինելու դեպքում հասնում են ամենամեծ մեծության այն դեպքում, երբ

<math>x : y : z \;=\; p : q : r, \;\; x : y : z : t \;=\; p : q : r : u</math>

և այլն։